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楼主: dengxianqi

尝试翻译《The Mathematics of Poker》

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flyinglion 发表于 2012-9-19 14:24:54 | 显示全部楼层
dengxianqi 发表于 2012-9-19 09:14
嗯,Kelly criterion 比较多的翻译成“凯利准则”,我当时脑子一时短路,想不起“准则”这个词,就翻成了“ ...

足彩的凯利指数我一直研究不透,看了一些这方面的资料,看不太懂。
后来简单经验得出,相同的赔率对应的凯利指数是一样的,我开始觉得足彩网站上所谓的凯利指数就是个伪科学,用固定公式换算的……
所以一直很好奇,这个凯利指数究竟有什么用,和赛果的关联度多大呢?

倒是资金管理上用这个凯利应该大有好处,比如茶版那个连红5年的哥们,要是有用这个算一算,再来点风投,估计就跟前次谣传中的澳大利亚赌球集团差不多了……

哎,其实挺悲催的,发现开始对赔率产生兴趣以后,看球的乐趣少了不少。
昨晚是第一次开始觉得说不定欧冠也有鬼的,皇马那样逆转曼城,要不是皇马会员太有钱,就是我太傻B了,哎
 楼主| dengxianqi 发表于 2012-9-19 15:39:00 | 显示全部楼层
flyinglion 发表于 2012-9-19 14:24
足彩的凯利指数我一直研究不透,看了一些这方面的资料,看不太懂。
后来简单经验得出,相同的赔率对应的 ...

我好像一直都对看球没啥兴趣……
 楼主| dengxianqi 发表于 2012-9-19 15:42:11 | 显示全部楼层
flyinglion 发表于 2012-9-19 14:24
足彩的凯利指数我一直研究不透,看了一些这方面的资料,看不太懂。
后来简单经验得出,相同的赔率对应的 ...

”茶版那个连红5年的哥们“指的哪个帖子?
xiaozhu88 发表于 2012-9-20 02:20:54 | 显示全部楼层


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kobe_t 发表于 2012-10-2 10:56:29 | 显示全部楼层
这书不是英文好就能翻译成, 要一定的数学基础阿.........我有书本在手上, 现在才后悔大学没好好学高数啊
 楼主| dengxianqi 发表于 2012-10-23 16:28:32 | 显示全部楼层
kobe_t 发表于 2012-10-2 10:56
这书不是英文好就能翻译成, 要一定的数学基础阿.........我有书本在手上, 现在才后悔大学没好好学高数啊 ...

应该没用到什么二阶偏导连续性之类的东西吧?
我的微积分可能稍差点,概率啊,组合啊,之类的,一般还是没啥问题的,反正也不是在“规定的时间规定的地点”去考试,哈~
 楼主| dengxianqi 发表于 2012-10-23 16:38:23 | 显示全部楼层
本帖最后由 dengxianqi 于 2012-10-23 16:39 编辑

相关事件

然而,有一些事件是互相影响的。比如,在一场棒球比赛前,某支球队的一个天才投手有3%的概率能投出9局好球而不让对方跑上一个垒;而他的队的历史胜率为60%。然而,这个投手的队赢得比赛的同时他也让对方无法得分的概率很明显不会是60%乘以3%。相反,这个概率非常接近3%本身,因为当这个投手实现“投出9局好球而不让对方跑上一个垒”的时候,事实上这支队一般都是获胜的。这样的事件之间就是“相关的”。我们同样可以考虑条件概率“当B事件发生时A事件也发生的概率”。对于相关事件A和B来说,A与B同时发生的概率等同于A发生的概率乘以条件概率“当A发生时B发生的概率”。如果条件概率“当B发生时A发生的概率”等同于A事件单独发生的概率,则两个事件叫做不相关的。

下面的公式较为正式的总结了以上这些论点:
p(A ∪B) =事件A或者事件B发生的概率.
p(A ∩B) =事件A以及事件B发生的概率.
p(A|B) = 条件概率“当B已发生时A发生的概率”.

符号 ∪ 及 ∩ 来自“集合论”,用来正式的表示“并集”以及“交集”。我们更喜欢通俗一点的说法“或”以及“与”。同样地,| 是表示“当……时”的符号,所以我们可以按照以下方式来表达:
p(A ∪B) = A 或 B发生的概率
p(A ∩B) = A 与 B同时发生的概率
p(A|B) = 当B发生时A发生的概率”

对于互斥事件,:
p(A ∪B)=p(A)+ p(B)                                                                        (1.2)

对于不相关事件:
p(A ∩B)=p(A)p(B)                                                                         (1.3)

对于所有事件:
p(A ∪B)=p(A)+ p(B)-p(A ∩B)                                                           (1.4)

对于相关事件:
p(A ∩B)=p(A)p(B|A)                                                                         (1.5)

公式(1.4)对于互斥事件来说,简化成了公式(1.2),因为p(A ∩B)=0 。同样的,公式(1.5)对于不相关事件来说,简化成了公式(1.3),因为p(B|A)=p(B) 。另外,如果 p(B|A)=p(B), 则p(A|B)=p(A)。

现在我们可以回到最初的问题。一副手牌为一对A概率是多少?这里包括两个事件:

•        A: 第一张牌是一张A
•        B: 第二张牌是一张A.

p(A)=1/13, p(B)=1/13,显然。然而,这两个事件是相关的,如果A发生了(第一张牌是一张A),那么B发生的可能性会降低,因为每张牌发出来后就不会重新放入牌堆了。所以,p(B|A)就是当第一张牌是一张A的条件下第二张牌也是一张A的可能性。还剩下三张A,牌堆中还有51张牌,所以p(B|A)=3/51,即1/17.

p(A ∩B)=p(A)p(B|A)
p(A ∩B)= (1⁄13)(1⁄17)
p(A ∩B)= 1⁄221

关于概率,还有其他很多简单属性可以提提的。第一,一个事件的概率不会小于0也不会大于1.回想一下概率的定义,n次试验不可能导致一个事件发生次数多于n,也不可能小于0。一个事件如果肯定发生,其概率则为1。一个永远不会发生的事件,其概率为0。一个事件的补集的概率,即这个事件不会发生的概率,可以简单的通过1减去这个事件的概率得到。
我们用以下公式及符号总结一下:
p( ¯A  )=  A不发生的概率
C = 一个确定事件
I = 一个不可能事件

我们将得到:
0≤p(A)≤1 ,对于所有的A                                                                (1.6)
p(C) = 1                                                                                        (1.7)
p(I) = 0                                                                                        (1.8)
p(A)+p( ¯A  )=1                                                                                (1.9)

公式(1.9)也可表示为:
p(A)=1-p( ¯A  )                                                                                (1.10)


我们可以使用这些规则解决很多概率问题。
一些常见的概率问题是很简单的,比如,摇两个骰子,两个都是6点的概率。这个问题可以使用公式(1.3)解决,因为两个骰子之间是不相关的。用p(A)表示第一个骰子摇到6点的概率,用p(B)表示第二个骰子摇到6点的概率。则有:
p(A ∩B)=p(A) * p(B)
p(A ∩B)= (1⁄6) * (1⁄6)
p(A ∩B)= 1⁄36

同样的,使用公式(1.2),一个玩家拿到一对A、一对K、或一对Q的概率为:
p(AA) = 1⁄221
p(KK) = 1⁄221
p(QQ) = 1⁄221
p({AA, KK, QQ}) = p(AA) + p(KK) + p(QQ)  = 3⁄221

同样地,我们可以解决一些更加复杂的问题,比如:
两张同色的牌直接在flop中flush的概率是多大?

我们拿到了flush中的两张牌,牌堆中还剩11张。Flop的三张牌都是这一门花色,意味着:
A:第一张牌是这门花色;
B:第一张牌是这门花色的条件下第二张牌也是这门花色;
C:前两张牌都是这门花色的条件下第三张牌也是这门花色。


p(A) = 11⁄50                         (牌堆已经减去我们手上的2张牌)

p(B│A)= 10⁄49                (1张这门花色拍,并且共3张牌从牌堆中减去)
       
p(C│(A∩B))= 9⁄48        (2张这门花色拍,并且共4张牌从牌堆中减去)


根据公式(1.5),我们得到:
p(A ∩B)=p(A)p(B|A)
p(A ∩B)= (1⁄50)(10⁄49)
p(A ∩B)= 11⁄245

用D表示(A ∩B),我们再次使用公式(1.5):
p(D ∩C)=p(D) * p(C|D)
p(A ∩B∩C)=p(A∩B) * p(C|(A∩B))
p(A ∩B∩C)= (11⁄245) * (9⁄48)
p(A ∩B∩C)= 33⁄3920  ,  稍微小于1%.

事实上我们可以在所有情形下应用这些方法。这本书中,我们将使用这些属性来计算各种事件的概率。

(待续:概率分布)
mlbvuuk 发表于 2012-10-24 02:48:39 | 显示全部楼层
留名啊有时间看
 楼主| dengxianqi 发表于 2012-10-25 15:34:35 | 显示全部楼层
本帖最后由 dengxianqi 于 2012-10-25 15:45 编辑


概率分布
虽然单一事件的概率很重要,但有很多情况下这还不足以充分对某一情形进行分析。很多时候,同时考虑多种不同的概率会变得很重要。我们可以根据一个事件的各种可能的结果以及各自的概率得到概率分布。
以一个理想硬币为例。抛这枚硬币的可能的结果只有两个,而且每个结果之间互斥且各自的概率均为1/2。我们可以以此形成一个抛硬币的概率分布:把每个结果与其发生概率配在一起,从而形成两个配对:(正面,1/2),(反面,1/2)。

设C为抛硬币结果的概率分布,则我们可以进行如下描述:
C = {(正面, 1⁄2), (反面, 1⁄2)}

同样的,抛一个六面的骰子的结果的概率分布可以描述如下:
D = {(1,1⁄6), (2,1⁄6), (3,  1⁄6), (4,  1⁄6), (5,  1⁄6), (6,  1⁄6)}

对于任何事件,我们都可以穷举所有的互斥结果然后让其与各自的发生概率配对,构造出一个离散的概率分布。
从而,我们可以为同一个事件构造出不同的概率分布。抛骰子的事件我们可以构造出另一个概率分布——奇偶分布:
D’ = {(奇数, 1⁄2), (偶数, 1⁄2)}

打扑克时,我们几乎永远都非常关心我们的对手拿着什么手牌。但是,我们几乎不可能使我们对对手手牌的估计缩减到特定的两张牌。相反,我们使用概率分布来表示对手可能的手牌以及他拿到每副手牌各自的概率。在一局牌开始时,还没人看过自己手牌的时候,每个玩家手牌的概率分布是一样的。然而,随着这手牌的进行,我们可以根据各种从牌局中获得的信息来不断的调整我们对对手每副可能的手牌的概率估计。那些信息包括:各人对这手牌的玩法、我们自己的手牌、桌面发出的牌、以及其他等等。


有时候,我们可以对概率分布的每个元素赋予一个数值。比如,设想一个朋友和你用一个理想硬币玩抛硬币游戏。赢家从输家那获得10元。这个抛硬币游戏的结果遵从我们早先时候识别出来的概率分布:
C = {(正面, 1⁄2), (反面, 1⁄2)}


因为我们知道这个硬币是“理想”的,即均匀的,所以不管谁来压注或压哪一面都无所谓。这样,我们为这个赌识别出了另一个概率分布:
C’ = {(赢, 1⁄2), (输, 1⁄2)}


我们可以进一步,给每个结果赋予一个数值。如果我们赢了,朋友给我们10元。如果我们输了,我们给朋友10元。由此得到下面的式子:
B = {(+$10, 1⁄2), (-$10, 1⁄2)}


当概率分布的每个可能的结果都被赋予了一个数值,我们就能计算出这个分布的“期望值 EV”。计算方法是把每个结果的数值乘上各自结果的发生概率,然后加总。在这本书中,我们将使用符号<X>来表示“X事件的期望值”。在这个案例中,我们有:
<B> = (1⁄2)(+$10)+(1⁄2)(-$10)
<B> = $5 + (-$5)
<B> = 0

这个结果是很显然的——如果我们抛一枚均匀硬币若干次,一半的时候我们会赢,一半的时候我们会输。次数一样,所以总体来说你会打平。同样,如果你的朋友不和你玩这个游戏,其期望值也是零,因为没有钱会被交换。


对于一个概率分布P来说,如果其所有的n个结果中,每个结果都有一个数值x_i以及其相应的概率p_i,那么P的期望值<P>则为:



玩扑克或者其他任何形式的赌博游戏的核心思想是,最大化期望值。在这个例子中,你的朋友给你提供了一个公平的赌博。平均来说,你玩与不玩这个抛硬币游戏,你的期望值没有变化。

现在,假设你朋友向你提供了一个不同的,或者说,更好的交易:同样的抛硬币,但如果你赢了,他付给你11元;如果你输了,你只需付给他10元。同样,不玩的EV是0,但是现在玩这个游戏的EV已经不再是0了。你赢的时候赢11元,输的时候输10元。这个赌给你的期望值是:
<B_n> = (1⁄2)(+$11)+(1⁄2)(-$11)
<B_n> = $0.50

平均来说,每抛一次硬币你将赢50分钱。当然,并不是铁定赢;而且事实上,在任何一次特定的抛硬币中,你不可能赢得50分钱。仅仅是总计来说,这个期望值数字才会存在。然而,这样做的话,平均来说玩一次比不玩会多赚50分钱。


再举一个例子。假设同一个朋友提供给你另一个交易:你抛一对骰子一次,如果抛出两个6点,他付给你30元,然而如果是其他的任何点数,你付给他1元。同样,我们可以计算一下这个交易的期望值。
<B_d> = (+$30)(1⁄36)+(-$1)(35⁄36)
<B_d> = $ 30⁄36- $  35⁄36  
<B_d> = -$ 5⁄36            大概14分钱.

这个交易对你的价值大概是负14分。不玩的EV是0,所以这个交易很烂,你不应该玩。告诉你的朋友还是玩那个11-10的抛硬币游戏吧。值得注意的是,这个“双骰子”的赌戏遍布全世界。

期望值的一个十分重要的属性是其可加性,即,连续赌六次的期望值就是把每个单独的EV加总起来的值。绝大多数赌博游戏——事实上,一生中的绝大多数事情——都与之类似。我们不断的接受各种小的抛硬币交易或抛骰子交易——有的有正的期望值,其他的有负的期望值。有时候问题中的事件不是抛硬币或掷骰子,而是一张保险单或公募基金。拉斯维加斯的免费饮料以及霓虹灯,来自成千上万的抛硬币游戏的加总。而在每个游戏中,赌场都仅拥有一点点的优势。


通过使用概率分布来讨论扑克,我们经常会省略掉一些特定的概率。这么做意味着,那些手牌相应的概率与这手牌开始时相比没有发生变化。假设我们观察到一个非常紧的玩家加注了,并且我们根据经验可知,他仅仅在拿到一对A、一对K、一对Q或A-K的时候才加注。我们可以表示他的手牌分布如下:
H = {AA, KK, QQ, AKs, AKo}

把概率抹掉意味着这些手牌相应的概率与发牌时一样。当我们有多个分布需要考虑时也可以使用<X>符号。假设我们正在讨论一个这样的情形:两个玩家A及B的手牌遵从以下分布:
A = {AA, KK, QQ, JJ, AKo, AKs}
B = {AA,KK,QQ}

于是我们得到以下:
< A, B >                : A玩家对上B玩家时的期望值.
< A, AA|B >           : A玩家的手牌对上B玩家手牌分布中的AA的期望值.
<AA| A, AA|B >        : A玩家手牌分布中的AA对上B玩家手牌分布中的AA的期望值.
< A, B > = p(AA) < A, AA|B > +  p(KK) < A, KK|B > + p(QQ) < A,QO| B>  等.

另外,我们可以对一个分布中的元素进行一些基本的算术运算。例如,如果我们把一个分布中的所有结果的数值都乘以一个常量,那么这个新产生的分布的期望值等同于原分布的期望值乘以这个常量。同样的,如果我们把一个分布中的所有结果的数值都加上一个常量,那么这个新产生的分布的期望值也等同于原分布的期望值加上这个常量。

我们还需要花点时间来描述一下一个描述概率的常用方式,胜败比(odds)。胜败比定义为,事件发生的概率与事件不发生的概率之间的比值。胜败比通常可以简化成一些简便的形式,例如“7比5”,“3比2”,等。好的胜败比意味着事件更可能发生,差的胜败比意味着事件更可能不发生。通常,相应的手牌价值可以描述为:这手牌对上那手牌有7比3的领先成败比,也就是这手牌有70%的概率获胜。

比起概率,胜败比通常在数学计算上较为困难点,因为胜败比不能通过进行简单的结果相乘来表示期望值。真正的“赌徒”通常使用胜败比,因为胜败比简明的表达了他们的下注能得到多少倍的赔付。概率更多的是一个数学概念。使用数学工具的赌徒可能两种都会采用,但通常来说更加喜欢概率,因为根据概率能较为容易的计算出期望值。

关键概念
•        一个事件的其中一个结果发生的概率,相当于在对这个事件的大量重复试验下,这个结果发生的总次数与总试验次数的比值
•        概率分布是对一个事件的所有互斥结果配对上各自相应概率的列表
•        (这一段我翻译不好,主要后半句没理解……)The expected value of a valued probability distribution is the sum of the probabilities of the outcomes times their probabilities.
•        期望值具有可加性。
•        如果一个概率分布的每个结果都对应了一个数值,这个分布的期望值就是每个输出与其相应概率乘积的加总。
•        玩扑克的数学方式最基本的要求就是要最大化期望值。

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 楼主| dengxianqi 发表于 2012-11-30 17:47:59 | 显示全部楼层
第二章
预测未来:涨落及抽样结果

那些每个元素都被赋予了数值的概率分布具有两个特性,这两个特性共同描述了在重复试验中这个分布的大多数行为。第一个,在上一章中描述过的,是期望值。第二个是涨落,用来量度预期结果的离散程度的方法。大致上描述这两个特性,期望值用来衡量平均来说你将赢多少;涨落用来衡量某次特定试验的结果可能会偏离期望值多少。

考虑涨落时,我们试图构建出在多次试验后,试验结果会形成一个怎么样的范围。在很多领域里,人们对试验结果范围的关注,包括了平均值的两端。举个例子来说,在很多制造业里,存在一个可接受的区间,生产结果如果处于这个区间的两端之外都是不可接受的。在扑克里,一般都只关注涨落的单边,因为大多数玩家基本都不会关注超出期望值的盈利。事实上,“涨落”通常用来描述低于期望值的一端。

这个观点从某种方面来说是比较实际的,尤其是多于职业玩家来说。但是,这个观点造成了一个忽视积极结果的趋势,从而形成了如下假设:那些超出期望值的结果对于所存在的分布来说比实际更加具有代表性。统计的其中一个重要目的在于,当给定一系列初始条件时,找出某个特定的结果的发生概率——以及与之相反的过程,根据特定的结果推断初始条件。在扑克里,这两方面都被普遍应用着。在一系列初始条件下的结果分布,我们称之为“样本空间”,所观测到的结果我们称之为“抽样(样本)”。在扑克里,我们通常无法衡量样本空间里的所有元素,仅能通过观测抽样样本来满足我们的要求。

大多数的统计学课程或课本都会提供如下材料:概率,抽样方法,假想实验,相关系数,等。在分析扑克时,我们会经常使用概率的相关概念,并且有时会使用其他的统计学方法。接下来是对一些在分析扑克时很有用的统计学概念的一个快速浏览,尤其是在分析已观测到的结果方面。大多数相信是无关的内容已经被删去了。我们建议你就这些课题查阅统计学课本以获得更多的信息。

一个在扑克里总是被问的问题是:“我应该期望我的一次牌局有多大可能盈利?”换句话说,这个问题可表述成:“从我的所有牌局的样本空间中抽出一个样本,有多大可能性这个样本是大于零的?”回答这个问题的最简单直接的方法,是检验你的牌局的所有分布,加总那些结果大于0的数量。

不幸的是,我们无法获得这个分布——无论你从过去的牌局中搜集到了多少数据,你所得到的仅仅是一个样本。然而,假设我们从某种方法得到了你在这个牌局中每手牌的盈利期望值以及涨落,并且我们得知了你所关注的这个牌局会持续多长时间。那么,我们可以采用统计学的方法来估计你将在这个牌局盈利的可能性。这两个项目(期望值、涨落)的第一个(也称之为这个分布的平均值)我们已经熟悉了,在第一章中已经讨论过。
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