扑克的本质笔记（1-15）

"我们看看UTG。他有K，可以bet，希望BU拿Q去call，BU拿J一定扔牌。UTG也可以check，希望引诱拿Q的对方bet，然后自己insta call。"

上面那句的後半應該是不成立的
UTG拿K如果CHECK,BU拿Q在任何情況下也不會BET的
因為這個BET一定是-EV

但是UTG還是可以CHECK,希望對手拿J bluff而不是拿Q BLUFF
所以會有的動作如下
拿K BET, CHECK, CALL
拿Q CHECK,CALL
拿J  BET,CHECK

排除了以上4个低级错误，其实留给玩家的选择已经不多了，我们看看UTG。他有K，可以bet，希望BU拿Q去call，BU拿J一定扔牌。UTG也可以check，希望引诱拿Q的对方bet，然后自己insta call。如果UTG有J，他最自然的选择当然是check，如果BU bet他就insta fold；当然他也可以bluff bet，希望对手是Q并可能fold。

多谢多谢，原文后半句写错了，应该是“引诱拿J的对方bluff”才对。我刚才在原文修正了一下。

"我们看看UTG。他有K，可以bet，希望BU拿Q去call，BU拿J一定扔牌。UTG也可以check，希望引诱拿Q的对方bet，然后自己insta call。"

上面那句的後半應該是不成立的
UTG拿K如果CHECK,BU拿Q在任何情況下也不會BET的
因為這個BET一定是-EV

但是UTG還是可以CHECK,希望對手拿J bluff而不是拿Q BLUFF
所以會有的動作如下
拿K BET, CHECK, CALL
拿Q CHECK,CALL
拿J  BET,CHECK




[quote="Howard":2mprcikq]

排除了以上4个低级错误，其实留给玩家的选择已经不多了，我们看看UTG。他有K，可以bet，希望BU拿Q去call，BU拿J一定扔牌。UTG也可以check，希望引诱拿Q的对方bet，然后自己insta call。如果UTG有J，他最自然的选择当然是check，如果BU bet他就insta fold；当然他也可以bluff bet，希望对手是Q并可能fold。

[/quote:2mprcikq]

好久不来，来了能看到这种有内涵的帖子，真好


好久以来一直想学点逻辑方面的知识，希望楼主有空讲讲

上一集说要先研究一下BU在不同情况下的决策问题。因为BU的决策比UTG要简单一点，他只有两个决策需要做。第一，他拿J的时候，bluff的频率，我们拿q1表示。第二，他拿Q的时候，他call的频率，我们拿q2表示。注意当BU拿K的时候他没有什么决策好做的，100%或者bet或者call就行了。q1和q2都是从0到1的数。

UTG的情况要稍微复杂一点，他要做三个决策。第一，他拿J的时候bluff的频率，用p1表示；第二，他拿Q的时候call BU的bet的频率，用p2表示；第三，他拿K的时候bet的频率，用p3表示。

有人说,p3=1。UTG拿K还不肯定bet啊？不一定。假如UTG偷偷看到了BU的牌是个J，那么他的最佳策略就是check，希望引诱bluff。

好，现在我们有5个变量，UTG有三个p1 p2 p3，BU有两个q1 q2。这5个都是频率（概率，我混用两个词），他们5个完全决定了两者的策略。

现在定义一下两者的EV。我们把EV定义为双方Anti 100之后的EV。也就是说，那100块钱的anti算作sunk cost，不算成我们的支出。200块钱的底锅不属于任何一个玩家。例如，UTG check， BU bet， UTG fold。我们就给UTG记0，给BU记+200.

对于UTG和BU来说，他们的牌的情况总共有P（3，2）=6种，我们下面把所有6种情况一一列出进行分析。好不容易琢磨这么一个简单的游戏，就是为了能用最简单最有效的方法：穷举啊！每个玩家他有四个可能的结果：或者输100，或者赢200，或者赢300，或者0.  当双方check-check时输的那一方收益就是零。零收益对我们的计算没有影响，因此我们只需要考虑非零收益的三个结果。

-------------回头再写（3）---------------回来了-----

情况之一，UTG 是个J，BU是个Q。如果UTG bluff，并且被call了，他-100，发生的概率是p1q2 (p1是UTG bluff J的概率，q2是BU call Q的概率)。如果UTG bluff 成功，BU扔牌，他+200，概率是p1(1-q2)。如果UTG直接check，我们已经知道BU一定也check，UTG 收益0，就不算概率了。

情况之二，UTG有J，BU有K。这种情况UTG只有一种非零收益的可能就是-100，发生在他bluff的时候。概率是p1.

情况之三，UTG有Q，BU有J。UTG必然check。BU在1-q1的概率下随后check，UTG收入+200. 另外BU也可能Bluff被UTG call，概率为q1p2，此时UTG -300.

情况之四，UTG有Q，BU有K。此时UTG注定赢不了任何的锅，他只可能输100，当他call的时候。概率为p2

情况之五，UTG有K，BU有J。此时若UTG成功引诱bluff，收益+300，概率（1-p3）q1。其他任何时候UTG都是收益+200，概率为1-（1-p3）q1.

情况之六，UTG有K，BU有Q。如果UTG bet，BU可能call，UTG收益+300，概率为p3q2. 其他任何时候UTG都是收益+200，概率为1-p3q2.

这六种情况是均匀分布，每种概率都是六分之一。现在就可以把UTG所有情况下的权重EV简单相加，得到他的最终总EV。这个加起来的式子相当的长，写出来大概是这样的：

100/6 * (-p1q2-p1-q2) + 100/6 (2p1 - 2p1q2 +6 -4q1 + 2p3q1 - 2p3q2) + 100/6 (3p2q1 + 3q1 -3p3q1 + 3p3q2)

这个式子写出来，恐怕耐着心看到这里的朋友们都想起了伟大的墙的话：数学对扑克有用，沉迷于数学则误入歧途！于是终于愤愤得关上这个帖子。没关系，任何公式您都可以跳过，只看结论也无伤大雅。反正这些东东也是自己写着玩的。但是我确信，结论还是能对您有一定的吸引力的。

刚才这个公式是UTG在post anti的EV，单位是元。为了简化，我们把单位变成100元，就把100全都消掉了。我们还要变成pre-anti，也就是玩牌之前的EV，于是在公式后面-1. 再合并一下同类项，变成下面这个公式

UTG的EV (100$) = 1/6  * [ p1(1-3q2) + p2(3q1-1) + p3(q2-q1) -q1]

我们把p1, p2, p3看成自变量，把q1,q2看成他们的系数。我们会发现一个奇怪的现象：如果q1和q2都是1/3的话，三个自变量的系数都成了0，公式就变成 UTG的EV = -1/18, 而不取决于p1, p2,和p3.

这也就是说，如果BU以1/3的概率bluff J，以1/3的概率call Q，那么碰管你UTG怎么玩，我保证你UTG平均每一把输1/18 (个100元)。真是太奇妙了，BU只要用这种打法，无论UTG怎么玩，只要他不犯低级错误，他们的收益都是固定的。无论UTG拿J全bluff，还是全fold；无论拿Q全call，还是全checkfold，谁也不会多赢，谁也不会多输. UTG以每手牌十八分之一的速度稳定向BU送钱。

上集说到如果BU把自己的策略定于q1=q2=1/3，其结果就是他的EV固定是1/18，无论UTG怎么玩。我们把q1=q2=1/3成为BU的“中立策略”

如果BU偏离了这个中立策略，他就是在某种意义上“犯错误”，因为UTG可以通过选取合适的“对应策略”来使自己的EV提高到-1/18以上，甚至高于零。

举几个例子来说明这个问题。假如BU拿J的时候Bluff太少，而拿Q的时候call的太少。这相当于正常扑克局里面的tight-timid类型玩家。Phil Hellmuth不是刚刚进城吗，咱就用他的话说。他把所有玩家分为老鼠、大象、野狼、狮子，和老鹰。分别对应tight-timid, calling station, loose-aggressive, rock, 和good player。Phil天下第一自负，当然自诩老鹰。说实在的我非常的不喜欢他，不是因为他自负或者牌技之类的问题，而是他在牌桌上经常不尊重对手，口出秽言肆意污蔑。不过人家是站长请来的客人，咱一届小鱼跟人家战绩没法比，只有高山仰止，远远观望的份。

我靠又跑题了，刚才假设BU是老鼠，bluff太少，call太少。再进一步假设他call的比bluff的还少（算是一只疑神疑鬼的，给对方太多credit的老鼠）。所以我们有q2 < q1 < 1/3。这个时候UTG应该怎么办呢？我们再回忆一下UTG的EV公式

UTG的EV  = 1/6 * [ p1(1-3q2) + p2(3q1-1) + p3(q2-q1) -q1]    (单位：100$)

我们看到，p1的系数大于零，p2的系数小于零，p3的系数小于零。UTG的对应策略就出来了：让p1=100%, p2=p3=0。翻译成白话文，就是拿到J的时候肆无忌惮的，张牙舞爪的100% bluff；拿到Q的时候如果面临bet，想都不要想就扔牌。拿到K的时候一律check，引诱对方bluff。

UTG的EV (对方是疑神疑鬼的老鼠) = 1/6 * [ -q1 -3q2 + 1]

因为q2 < q1 < 1/3，所以上面公式中UTG的EV一定是大于-1/18的，搞不好还要大于零。比如，当q2=1/6，q1=1/4，这时候UTG的EV就等于1/24。

反过来站在BU的角度看，如果UTG是大象，也就是passive的calling station怎么办？我们先看看大象有哪些漏洞。大象有好牌的时候也不bet，我们假设UTG的p3=0。BU聪明的看到了这一点，并决定bluff概率为1/6，也就是q1=1/6。

-----待续----------继续---------------

以前我都是用五笔，现在改用google拼音了，经常会有错字出现，还请原谅。

前文说了假设UTG是大象，永远check K，所以p3=0。如果这时候BU拿了个J，BU就开始想了，UTG不是Q就是K，当他拿K的时候永远check，所以他拿Q和拿K的概率是相等的都是1/2。在他拿K的那一半里，我bluff也没用；在他拿Q的那一半里，我应该以一定概率bluff。bluff多少呢？根据死磕兰斯基的定理，我bluff 100，以取得200的锅，我需要正好bluff 100/（200+100）= 1/3。但是这是指UTG拿Q的一半里面的1/3，所以我总体上应该bluff 1/6。

BU认为自己很聪明，根据“UTG永远check K”的额外信息做了这个bluff 1/6的决定。想不到他已经犯错了！UTG不用改变他永远check K 的做法，就可以盈利。我们再来看看，UTG的EV公式为

UTG的EV  = 1/6 * [ p1(1-3q2) + p2(3q1-1) + p3(q2-q1) -q1]    (单位：100$)

现在已知的是p3=0，只要UTG选择永远不bluff J, 也永远不call Q， 也就是p1=p2=p3=0的话，UTG的EV就是 1/6 * (-1/6) = -1/36。虽然还是负的，但是已经比-1/18要好。button是轮流的，当UTG转到BU的时候可以使自己q1=q2=1/3以获得1/18的收益，这样他一回合下来总收益就是 -1/36 + 1/18 = 1/36，他赚大了。

总的说来，BU就是q1=q2=1/3，以稳赚1/18的EV。

呵呵,虽然有些我还看不太懂,但是受教了,多谢楼主!

学习了。好帖！

楼主的理论没大明白。 但这段感受很真切。 别翻成e文 [s:149]
"天下第一自负，当然自诩老鹰。说实在的我非常的不喜欢他，不是因为他自负或者牌技之类的问题，而是他在牌桌上经常不尊重对手，口出秽言肆意污蔑。不过人家是站长请来的客人，咱一届小鱼跟人家战绩没法比，只有高山仰止，远远观望的份。"

别的没什么，就是觉得楼主把计算机看的太弱了，ualberta大学的软件就足够在这论坛上横扫了 [s:178]

没什么文化，两年前为了做一个小项目，去图书馆借了几本博弈论的书。译著的往往前几十页都看明白，后面就傻了。国内的基本是找古今中外智慧小故事、小寓言来充数，跟于丹的心灵鸡汤差不多。

顶贴兼拿周赛资格。 [s:146]