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概率趣题之百囚抓号

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Howard 发表于 2016-12-9 07:46:38 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 Howard 于 2016-12-11 18:39 编辑

本题在网上有一些讨论(中文的不多),但是希望有兴趣的朋友能独立思考一下,就算想不出思路,思考本身也是有趣的。

说有100个死刑犯,编号为1-100。他们的号码被随机放入100个抽屉。为了活命,他们必须找到写有他们自己号码的纸条。

规则如下:
1. 从1号囚犯开始,按顺序来,每人只能打开50个抽屉。
2. 打开后要关好,后面的人完全看不到前面的人留下的任何信息。
3. 如果所有人都找到了自己的号码,则所有人都活。只要有一个人没找到,全部处死。

游戏开始之前,囚犯们可以商量出一个策略。问:应该采用什么策略?这策略能把所有人的存活率提高到多少?

显然如果没有策略,所有囚犯都随机选择,那么每个囚犯都有50/100也就是1/2的概率找到自己的号码。
(1/2)^100 = 7.89E-31
只有千亿亿亿分之一级别的概率全活下来。( 更正:snowsnow朋友指出,是百万亿亿亿分之一的级别)
---------补充-------------
问:是不是一号囚犯打开一个抽屉,然后二号囚犯打开一个,然后三号囚犯开一个。。。直到所有囚犯都开一个后,再回到1号开第二个。
答:不是。一号囚犯用完所有50个开抽屉机会之后,才轮到2号囚犯。

问:一号囚犯开完了如果没找到,按理所有100囚犯该全部枪毙。如果2号囚犯还有开抽屉的机会,说明1号囚犯找到了他自己的号。
答:所有囚犯都开完了才检验结果,所以每个囚犯并不知道他之前的囚犯成功与否。

问:每个囚犯一定要用完50次机会吗?如果50次之前就找到了自己的号码怎么办?
答:如果50次之前就找到了,他可以停止。再开抽屉失去了意义,因为反正他无法把其余抽屉的信息传递给后来人。









snowsnow 发表于 2016-12-9 08:13:35 | 显示全部楼层
本帖最后由 snowsnow 于 2016-12-9 08:18 编辑

(1/2)^100 = 7.89E-31
只有千亿亿亿分之一级别的概率全活下来。
..........................................................................
是不是最优情况也只有小于1 E-12(万亿分之1)的可能不都给毙了。

昆仑苍狼 发表于 2016-12-9 08:44:07 | 显示全部楼层
啥意思

1号囚犯 找完之后  2号囚犯知道1号囚犯找到号了吗
 楼主| Howard 发表于 2016-12-9 09:57:08 来自手机 | 显示全部楼层
snowsnow 发表于 2016-12-8 18:13
(1/2)^100 = 7.89E-31
只有千亿亿亿分之一级别的概率全活下来。
...................................... ...

符合直觉。 但可能有更好的
 楼主| Howard 发表于 2016-12-9 09:59:29 来自手机 | 显示全部楼层
昆仑苍狼 发表于 2016-12-8 18:44
啥意思

1号囚犯 找完之后  2号囚犯知道1号囚犯找到号了吗

2号不知道。每个囚犯进入房间时,房间都是完全一样的状态:抽屉里面仍然按同样顺序放着那些号码,所有抽屉全关。

不用费尽心思去想囚犯之间传递信息的方式,这不是脑筋急转弯。游戏一旦开始,再无信息传递
昆仑苍狼 发表于 2016-12-9 10:04:13 | 显示全部楼层
Howard 发表于 2016-12-9 09:59
2号不知道。每个囚犯进入房间时,房间都是完全一样的状态:抽屉里面仍然按同样顺序放着那些号码,所有抽 ...

这。。。。

那还有什么策略?

哦 游戏还开始之前他们可以商量

maomaobiao 发表于 2016-12-9 11:31:53 | 显示全部楼层
条件二,打开后要关好,后面的看不到前面人留下的任何信息。

我的思路是,盒子里的条子上作手脚可能么?比如把号码翻过来朝下放回去。
 楼主| Howard 发表于 2016-12-9 11:33:34 来自手机 | 显示全部楼层
maomaobiao 发表于 2016-12-8 21:31
条件二,打开后要关好,后面的看不到前面人留下的任何信息。

我的思路是,盒子里的条子上作手脚可能么?比 ...

那还是传递信息。不允许
maomaobiao 发表于 2016-12-9 11:34:34 | 显示全部楼层
看似不能传信息
maomaobiao 发表于 2016-12-9 11:37:48 | 显示全部楼层
这个思路算传递信息么?

1号开1—50号箱子
如果2号仍去开箱,说明1找到了1,因为他们100人没有被立即处死。
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