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楼主: Howard

概率趣题之百囚抓号

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Jimihandrix 发表于 2016-12-10 18:34:20 | 显示全部楼层
本帖最后由 Jimihandrix 于 2016-12-10 18:35 编辑

如果不能传递信息,那么最佳策略的成功率不会大于(1/2)^100,这题没有意义了。检查了下,修改了下策略。
一号囚犯    第一次开一号抽屉,几号纸条开几号抽屉,一次类推,开到50次为止
二号囚犯    第一次开二号抽屉   如果是一号纸条,一号抽屉100%是二号纸条
                                                           如果不是一号纸条,几号纸条开几号抽屉,开满50次为止
三号囚犯    第一次开三号抽屉   如果是一二号纸条,那么三号纸条100%在一号或者二号抽屉
                                                          不是一二号,几号纸条开几号抽屉,开满50次为止
.
.
.
51号囚犯    第一次开51号抽屉,如果是1-50号纸条,那么51号纸条100%在那个抽屉
                                                   如果不是1-50号纸条,那么51好纸条100%在52-100号抽屉
从51号开始,所有囚犯都能保证开到自己对应的纸条了
大致是这样一个策略。
任何一个囚犯都能将自己开到的纸条信息传递给对应的囚犯。
太累了,逻辑过程先不写了。



snowsnow 发表于 2016-12-10 19:15:54 | 显示全部楼层
本帖最后由 snowsnow 于 2016-12-10 19:20 编辑
Jimihandrix 发表于 2016-12-10 18:34
如果不能传递信息,那么最佳策略的成功率不会大于(1/2)^100,这题没有意义了。检查了下,修改了下策略。
...

Jimihandrix天才的设想。
一号先开一号箱, 一号箱里是几号就去开几号箱。。。。
二号先开二号箱, 二号箱里是几号就去开几号箱。。。。


不会遗漏任何一个线路, 也不会无效重复。

猫兄说的死循环不是坏事, 遇到死循环, 正好是找到了自己的号码。

maomaobiao 发表于 2016-12-10 20:05:04 | 显示全部楼层
snowsnow 发表于 2016-12-10 21:15
Jimihandrix天才的设想。
一号先开一号箱, 一号箱里是几号就去开几号箱。。。。
二号先开二号箱, 二号箱 ...

会重复的,你再想想。
karong 发表于 2016-12-10 21:05:03 来自手机 | 显示全部楼层
感觉上可以这样,1号囚犯开1至50号抽屉,2号囚犯开2至51号抽屉,依此类推,100号囚犯开100号抽屉和1至49号抽屉,这样就能保证所有的抽屉都被开了50次。概率多少不会算。
 楼主| Howard 发表于 2016-12-11 00:39:01 来自手机 | 显示全部楼层
maomaobiao 发表于 2016-12-9 18:03
1 开1-50,2 开51-100

1先开,2后开。则他们俩开出来各种事件的概率分别是

对 毛版说的对,是我蒙圈了。本来算的就是二者同时找到的概率。1-50号
snowsnow 发表于 2016-12-11 01:34:51 | 显示全部楼层
Howard 发表于 2016-12-11 00:39
对 毛版说的对,是我蒙圈了。本来算的就是二者同时找到的概率。1-50号

检测一下。
4个犯人/4个盒子的情况。
号码的放法 4!=24  种。
用他的方法有没有> 8种境况可以活?
maomaobiao 发表于 2016-12-11 03:25:26 | 显示全部楼层
karong 发表于 2016-12-10 23:05
感觉上可以这样,1号囚犯开1至50号抽屉,2号囚犯开2至51号抽屉,依此类推,100号囚犯开100号抽屉和1至49号 ...

这个和我的思路一样的。
maomaobiao 发表于 2016-12-11 03:27:57 | 显示全部楼层
snowsnow 发表于 2016-12-11 03:34
检测一下。
4个犯人/4个盒子的情况。
号码的放法 4!=24  种。

你这个算概率的方法不错,能不能归纳法再验证,比我硬算强
maomaobiao 发表于 2016-12-11 04:16:41 | 显示全部楼层
本帖最后由 maomaobiao 于 2016-12-11 10:30 编辑
snowsnow 发表于 2016-12-11 03:34
检测一下。
4个犯人/4个盒子的情况。
号码的放法 4!=24  种。

归纳法试试
---------------------------------
两个囚徒,两个号码。两个囚徒各自只能打开1个抽屉。
如果两个囚徒各自随机打开1个抽屉,有四种组合,概率为1/4,也就是1/2 * 1/2
如果两个囚徒,一个打开1,另一个打开2,则对应的号码摆放有两个组合,概率为 1/2
---------------------------------
四个囚徒,四个号码。四个囚徒各自只能打开2个抽屉。
如果四个囚徒各自随机打开2个抽屉,有(1/2)^4 逃生
如果四个囚徒,一号打开1 2,二号打开 2 3,三号打开 3 4, 四号打开 4 1
用我的思路把顺序重新摆过
一号打开1 2,  三号打开 3 4,
二号打开 2 3, 四号打开 4 1
则一号和三号逃脱的概率为 1/2 * 2/3 = 1/3,而且我们可以惊奇的发现,只要一号和三号逃脱了,则意味着二号和四号必然也能逃脱!(这里经老陈指出,是错误的结论,补充二号逃脱的概率。)

来看二号,承接上面的算法
如果2 3 这两个坑里,0坑被占,意味着 一号 = 1,三号 = 4,二号逃生的概率为 1/4 * 1/3 * 2/2 (#)
如果2 3 这两个坑里,1坑被占,有两种情况
     情况1,一号 = 1,三号 = 3,二号逃生的概率为 1/4 * 1/3 * 1/2 (#)
     情况2,一号 = 2,三号 = 4,二号逃生的概率为 1/4 * 1/3 * 1/2 (#)
如果2 3 这两个坑里,2坑被占,逃生概率为0

把(#)加起来就是 一 三 二 逃生概率 = 1/2 * 1/3 (=2/4 * 2/3 * 1/2)

如果囚徒一二三都逃生了,四号能逃生么?好像还是不能确保
比如纸条的排列是 1 2 4 3,就是一二三都逃生了,但是四号没有逃生的情况。还要算。

来看四号,承接上面的算法
如果4 1 这两个坑里,0坑被占,是不可能的。
如果4 1 这两个坑里,1坑被占,有以下的情况
     情况1,一号 = 1,三号 = 3,二号等于 =2, 四号逃生的概率为 1/4 * 1/3 * 1/2 (&)
     情况2,一号 = 2,三号 = 4,二号等于 =3, 四号逃生的概率为 1/4 * 1/3 * 1/2 (&)
如果4 1 这两个坑里,2坑被占,逃生概率为0


把(&)加和就是一二三四同时逃脱的概率 = 1/4 * 1/3  (= 2/4 * 2/3 * 1/2 * 1/2 ,比 (1/2)^4 高了一点点)

---------------------------------
六个囚徒,六个号码。六个囚徒各自只能打开3个抽屉。
如果六个囚徒各自随机打开3个抽屉,有(1/2)^6 逃生
如果六个囚徒
用以上思路打开
一号打开1 2 3,  四号打开  4 5 6,
二号打开 2 3 4,  五号打开  5 6 1,
三号打开 3 4 5,  六号打开  6 1 2,

一号和四号逃生的几率为 3/6 * 3/5
接下来算一四和二号逃生的几率
  如果2 3 4 这三个坑里,0坑被占,意味着 一号 = 1,四号 = 5or6,二号逃生的概率为 1/6 * 2/5 * 3/4 (#)
  如果 有1个坑被占,有两种情况,第一种:一号 = 2or3,四号=5or6,二号的逃生概率为 2/6 * 2/5 * 2/4 (#)
                                           第二种情况:一号 = 1,四号 = 4,二号的逃生概率为 1/6 * 1/5 * 2/4 (#)
  如果有2个坑被占,意味着一号 = 2or3,四号 = 4,二号的逃生概率为 2/6 * 1/5 * 1/4 (#)

把以上的(#)相加,就是一 四 二号的逃生概率 = 3/6 * 3/5 * 2/4  = 3/20

同之前的道理,只要囚徒 一 四 二 逃脱了,剩下的人必将逃脱(?好像要验证?老陈指出这个不对,还要接着算)
---------------------------------
待续



Jimihandrix 发表于 2016-12-11 05:00:48 | 显示全部楼层
补充一下之前的答案。
一号囚犯    第一次开一号抽屉,几号纸条开几号抽屉,一次类推,开到50次为止
二号囚犯    第一次开二号抽屉   如果是一号纸条,一号抽屉100%是二号纸条
                                                           如果不是一号纸条,几号纸条开几号抽屉,如果开到1号,就去开1号抽屉(1号抽屉100%是2号纸条)开满50次为止
三号囚犯    第一次开三号抽屉   如果是一二号纸条,那么三号纸条100%在一号或者二号抽屉
                                                          不是一二号,几号纸条开几号抽屉,(如果开到1号2号纸条,就去开1号或者2号抽屉)开满50次为止
.
.
.
51号囚犯    第一次开51号抽屉,如果是1-50号纸条,那么51号纸条100%在那个抽屉
                                                   如果不是1-50号纸条,几号纸条开几号抽屉,开到1-50号纸条就去开对应的1-50号抽屉(100%是51号纸条),如果一直开不到1-50号纸条,那么,51号纸条肯定在52-100号抽屉
从51号开始,所有囚犯都能保证开到自己对应的纸条了
大致是这样一个策略。
任何一个囚犯都能将自己开到的纸条信息传递给对应的囚犯。


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