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对数问题

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老陈 发表于 2020-4-4 04:59:23 来自手机 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 老陈 于 2020-4-9 15:09 编辑

已知:ln(a)/ln(9)=ln(b)/ln(12)=ln(a+b)/ln(16)
求:b/a。
rahj 发表于 2020-4-4 10:38:05 | 显示全部楼层
老陈你出啥幺蛾子题,还不把题目背景给说说
这题用计算器就简单了
b/a=ln(b)/ln(a)=1.131
001596 发表于 2020-4-4 12:22:05 | 显示全部楼层
rahj 发表于 2020-4-4 10:38
老陈你出啥幺蛾子题,还不把题目背景给说说
这题用计算器就简单了
b/a=ln(b)/ln(a)=1.131

哥,算错了。ln(a)/ln(9)=ln(a-9),不是ln(a/9)。
回到老陈的题目,ln(a-9)=ln(b-12)=ln(a+b-16),于是a=6.5,b=9.5,b/a=1.462
rahj 发表于 2020-4-4 12:38:51 | 显示全部楼层
001596 发表于 2020-4-4 12:22
哥,算错了。ln(a)/ln(9)=ln(a-9),不是ln(a/9)。
回到老陈的题目,ln(a-9)=ln(b-12)=ln(a+b-16),于是a= ...

从我结果和老陈出题习惯就知道答案的正确性了另外ln(a)/ln(9)<>ln(a-9)也<>ln(a/9)
001596 发表于 2020-4-4 12:42:49 | 显示全部楼层
rahj 发表于 2020-4-4 12:38
从我结果和老陈出题习惯就知道答案的正确性了另外ln(a)/ln(9)ln(a-9)也ln(a/9)[ ...

我擦,我是算错了。ln(a)/ln(9)=log9(a)...
Howard 发表于 2020-4-4 13:48:58 | 显示全部楼层
不会做,作弊了


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notch 发表于 2020-4-9 12:01:04 | 显示全部楼层
本帖最后由 notch 于 2020-4-9 12:03 编辑

令b/a=X,那么b=X*a,
ln(b)=ln(X)+ln(a)
ln(a+b)=ln(a*(1+X))=ln(a)+ln(X+1)

由ln(a)/ln(9)=ln(b)/ln(12)
可以变成ln(a)/2ln3=(ln(X)+ln(a))/(2ln2+ln3), 变形得
ln(X) = (ln2/ln3-1/2)ln(a)

由ln(a)/ln(9)=ln(a+b)/ln(16)
可以变成ln(a)/2ln3=(ln(a)+ln(X+1))/4ln2, 变形得
ln(X+1) = 2 (ln2/ln3-1/2)ln(a) = 2 ln(X)
所以X+1=X^2

因为a,b均为正数,所以X>0
解得上式中正根为
X= 0.5*(1+5^0.5) = 1.618


rahj 发表于 2020-4-9 17:35:28 | 显示全部楼层
notch 发表于 2020-4-9 12:01
令b/a=X,那么b=X*a,
ln(b)=ln(X)+ln(a)
ln(a+b)=ln(a*(1+X))=ln(a)+ln(X+1)

正解,刚刚验算的时候我都想不起是哪一步出错了
 楼主| 老陈 发表于 2020-4-11 05:07:41 来自手机 | 显示全部楼层
notch 发表于 2020-4-8 22:01
令b/a=X,那么b=X*a,
ln(b)=ln(X)+ln(a)
ln(a+b)=ln(a*(1+X))=ln(a)+ln(X+1)

完全正确。
下面下面方法也能得到同样结果。

设x=ln(a)/ln(9)
ln(a)=x*ln(9)
ln(a)=ln(9^x)
a=9^x
同理
b=12^x
a+b=16^x
b/a=(12/9)^x=(4/3)^x
(a+b)/a=1+b/a=16/9)^x=((4/3)^x)^2
令y=b/a,
y^2=y+1
只取正值
y=(1+sqrt(5))/2
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