+EV赌局之死

Overlay Tournament 和 50-40 游戏，其实代表了两种截然相反的 +EV。

在 Overlay Tournament 里，EV 主要藏在极少数中奖路径中。绝大多数时候你什么都拿不到，但偶尔一次巨额奖金，就足以把长期平均值拉到极高水平。随着比赛场次增加，这些中奖事件终究会慢慢出现，因此实际结果也会越来越接近理论 EV。它的问题不是 EV 不存在，而是人的一生能参加的比赛数量有限。对于绝大多数人来说，可能还没等到 EV 兑现，人生就已经结束了。

50-40 游戏则恰好相反。

它的 EV 同样是真实存在的，但问题完全不在于样本数太少。事实上，样本数越多，情况反而越糟。因为这个游戏的财富是按乘法增长的，而乘法世界里真正支配长期结果的不是算术平均，而是几何平均。结果就是，虽然总体平均收益始终为正，但绝大多数真实路径都会越来越接近破产。只有极少数连续幸运的路径，会积累出天文数字般的财富，并把整个群体的平均值维持在正数。

因此，两者几乎是镜像关系。

Overlay Tournament 的问题是，你玩的次数不够多。只要场次无限增加，最终一定能够实现理论 EV。

50-40 游戏的问题则不是次数不够，而是次数太多。玩的手数越多，你反而越难获得那个理论 EV。

换句话说，Tournament 的问题是：

你可能活不到 EV 出现的时候。

而 50-40 游戏的问题是：

EV 确实出现了，但它大部分时候出现在别的时间路径上，而不是出现在你的那条时间路径上。

这也是为什么很多人第一次接触时间平均（time average）和集合平均（ensemble average）的区别时会感到震惊。在 Tournament 中，随着时间推移，你会越来越接近理论 EV；而在 50-40 游戏中，随着时间推移，你反而会越来越远离自己以为会得到的那个 EV。

同样是 +EV，一个是因为人生太短，来不及兑现；另一个则是因为人生太长，最终被复利效应吞噬。前者死于样本不足，后者死于样本过多。这两种现象看似相似，实际上站在概率分布的两个完全相反的极端。

在 50-40 游戏里，每手的财富变化倍数只有两种：
赢：本金1.5X
输：本金0.6X

如果连续玩 N 手，最终财富就是：
WN=W0×1.5^W×0.6^L
其中 (W) 是赢的次数，(L) 是输的次数。


问题在于，这是一个乘法过程。
而我们熟悉的大数定律、平均数、统计学，最擅长处理的是加法过程。
于是数学家发现：ln(ab) = ln(a) + ln(b)
也就是说，ln 可以把乘法变成加法。


于是：
ln(WN) = ln(W0) + Wln(1.5) + Lln(0.6)

对于大量手数来说，W和L都非常趋向于总手数的一半N/2，
于是每手的长期增长率自然变成：
0.5*ln(1.5)+0.5*ln(0.6) = -0.0527


这里最重要的一点其实是：
ln 不是某个神秘的新指标。


它只是把财富增长这个乘法过程翻译成了加法过程。
如果财富是靠加法增长的，我们直接看 EV 就够了。
但财富是靠复利增长的，而复利本质上是一连串乘法。
既然财富生活在乘法世界里，那么衡量长期增长最自然的语言就不是普通平均数，而是 ln。

飞狮前面提到，凯利大法祭出，是不是就可以玩了？
是的。凯利一出，必须可以玩，而且非常值得玩。

Kelly 的思想其实非常简单。它不追求让你某一手赚得最多，也不追求让所有平行宇宙里的平均财富最大。它追求的是让你这条真实人生路径上的财富增长速度最快。换句话说，它最大化的不是 EV，而是长期增长率。

对于我们的 50-40 游戏，如果每次拿总资金的 f 去下注，那么赢的时候财富会乘以 (1+0.5f)，输的时候财富会乘以 (1-0.4f)。既然前面已经证明了长期增长率应该看 ln，那么 Kelly 实际上是在寻找一个最优的 f，让

0.5 × ln(1+0.5f) + 0.5 × ln(1-0.4f)

达到最大值。

把这个式子求最大值以后，答案是：

f = 0.25

也就是说，每次下注总资金的 25%，才是这个游戏的最优仓位。

这个数字的意思是，无论你现在有多少钱，每一手都只拿其中的四分之一去下注。

假设你现在有 100 元，那么下注金额就是 25 元。

如果这一手赢了，下注部分获得 50% 的收益，也就是赚 12.5 元。因此总资金从 100 元变成 112.5 元，财富乘数为：

112.5 / 100 = 1.125

也就是说，赢一手以后，总财富增长 12.5%。

如果这一手输了，下注部分亏损 40%，也就是亏掉 10 元。因此总资金从 100 元变成 90 元，财富乘数为：

90 / 100 = 0.9

也就是说，输一手以后，总财富减少 10%。

因此，在 Kelly 比例下注时，每一手实际上只有两种结果：

• 50% 的概率，财富乘以 1.125；
• 50% 的概率，财富乘以 0.9。
  

前面已经证明过，长期增长率应该看 ln，所以现在的长期增长率变成：

0.5 × ln(1.125) + 0.5 × ln(0.9)

算出来大约等于 0.00621。

这次终于是正数了。

那位说了，这不是才 0.62% 吗？好像也不怎么样。问题在于，这个数字不是 EV，也不是年化收益率，而是每手的复利增长率。前面说过，财富增长本质上是乘法，所以长期来看，财富大约会按照 e^(0.00621×N) 的速度增长。

1000 手以后，e^(0.00621×1000) 大约等于 500。

10000手以后，e^(0.00621×10000) = 9E26

也就是一个后面跟着 26 个零。假设起始资金只有 1 美元，那么 10000 手后的典型财富规模也会达到约 9×10^26 美元，相当于大约 9×10^14 个马斯克（spaceX上市以后的）。

All-in 的时候，长期增长率是负数，因此时间是你的敌人。你玩得越久，离破产越近。Kelly 的时候，长期增长率变成正数，因此时间反而变成你的朋友。你玩得越久，复利的力量越明显。

Kelly没有提高 EV，没有提高胜率，没有提高赔率。它只是告诉你，在一个正 EV 的游戏里，应该拿出多少本金去下注，才能让优势真正转化为长期财富增长。如果仓位太小，你没有充分利用自己的优势；如果仓位太大，波动拖累会把你的优势吃掉。Kelly 恰好位于这两者之间的最佳平衡点。

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