一道著名的悖论题

EV=0
无穷大不是一个数，而是一个级限，或者说是个“趋势”。 假设“n”是最大允许手数：
n=1, EV=0,
n=2, EV=0,
n=3, EV=0,
....
n=100, EV=0
任何大数“N”， n=N, EV=0
n=无穷大, EV=0

我又仔细读了原贴。 也许我的理解和楼主不同，所以澄清一下这是我的理解：

“假如赌场新推出一个游戏，你跟庄家每人发一张牌比大小 (但是你得下注) ，如果你大，则你得到1块钱，这手牌结束；

如果庄大，继续发第二次，(但是你得下注x2)
     这次如果你大，得到2块钱，这手牌结束
     如果还是庄大，继续发第三次，(但是你得下注x4)
         如果你大，得到4块钱，这手牌结束；
         如果庄大，继续发第四次。。。

以此类推，每次你可能得到的钱都比上次翻倍。假设牌永远发不完。“

如果不这么理解，这个问题没什么意义。  下面证明了下注$1 EV=0。 (我假设上面的钱数是下注以外从庄家赢的数。 这样数整，好写。)

回复 31# Howard

"这个游戏的期望值是正无穷是没有问题的。"
这是不对的。 matlab是不必要的，而且算地不对。 大家看来没读我的回贴，也许我没说清楚。 看看这回是不是能讲地明白些。

bank roll=$1 (more accurately: $1<=br<$3)
If you lose (1/2 probability), game over (no money to continue). -$1
If you win (1/2), game over. +$1
EV=-1/2+1/2=0
当然如果你赢了,你可以从头玩。 但EV还是“0”。

bank roll=$3
You lose 2 hands (1/4), game over. -$3
You win the first hand or lose the first and win the second (3/4), game over: +$1
EV=-3*1/4+3/4=0

2^n-1<=bank roll<2^(n+1)-1 (最多可以连输"n"手，才没钱继续)
EV=-(2^n-1)/2^n+1/2+1/4+...+1/2^n=0

EV=0, while n-> infinity

Howard 原贴的公式少了一项。 这里涉及了极限中一个易错的地方： 无穷大*无穷小=？ 希望讲明白了。

回复 35# Howard

Have you check the math?

回复 37# Howard

"即使玩家bankroll很小，游戏也可能永不over，只要庄家的牌永远大。玩家不需要每次发牌都下注。"

我们的理解不一样。详见我上面的红字(#34)。 如果玩家不需要每次发牌都不下注，结果是发散的。换句话说，多少钱都值，如果不在乎时间。

回复 1# Howard
"但是，无论怎么玩，你得到的只会是一个固定的数，为了这个固定的数，你怎么会愿意拿出正无穷的钱去玩呢？"

严格地说应该是： 无论价格是多少，都值得玩。 (N=正无穷的定义： any "n", N >n)