一道著名的悖论题

看看大家的逻辑能不能搞定它。

假如赌场新推出一个游戏，你跟庄家每人发一张牌比大小，如果你大，则你得到1块钱，这手牌结束；

如果庄大，继续发第二次，
     这次如果你大，得到2块钱，这手牌结束
     如果还是庄大，继续发第三次，
         如果你大，得到4块钱，这手牌结束；
         如果庄大，继续发第四次。。。

以此类推，每次你可能得到的钱都比上次翻倍。假设牌永远发不完。

问：你愿意花多少钱去玩这样一手牌？

计算：这手牌的EV = 1*(1/2) + 2*(1/4) + 4*(1/8) + ... = 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... = 正无穷

不考虑资金管理，只考虑+EV，我们应该愿意拿出正无穷的钱，或者我们所有的钱玩这么一手牌。

但是，无论怎么玩，你得到的只会是一个固定的数，为了这个固定的数，你怎么会愿意拿出正无穷的钱去玩呢？

反正我闲得无聊。好像找到问题了，就是你没说投入，你原文的公式是：

计算：这手牌的EV = 1*(1/2) + 2*( ...
maomaobiao 发表于 2010-12-8 02:07

    我的原帖可能叙述有些含糊，让你误解了。问题“你愿意花多少钱玩这样一手牌”，其中“一手牌”的定义是直到你被赌场pay out为止，而不是发一次牌。

比如总共发了10次牌，前9次都是庄家大，第10次你大，你得到2^9=512刀。 这10次发牌总共只算1手牌。

所以你的EV公式：
EV = （1-x）*(1/2) + （2-2x）*(1/4) + （4-3x）*(1/8) + ...
不是我想表达的意思，而应该是

EV = （1-x）*(1/2) + （2-x）*(1/4) + （4-x）*(1/8) + ...
    = 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... - (1/2 + 1/4 + 1/8 + ...)x
    = 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... - x
    = 正无穷 - x
    = 正无穷

sorry for causing misunderstanding.

这个公式没问题，后面的推导有问题

EV = n/2 - x (1 - 1/2^n)

这个值不是正无穷。

将EV 作为 n （numb ...
maomaobiao 发表于 2010-12-8 07:50

    俗话说软的怕硬的，硬的怕横的，横的怕不要命的，不要命的怕会用Matlab的。猫猫表这个matlab图给的太漂亮了。以前还有个朋友Matlab也很厉害好像叫llyydd，最近不怎么来了，是不是你马甲？

但是我得说一下，EV之所以叫EV，因为它是Expected Value，而不是对已经发生的事实的统计。在Expect中，第10轮结束这手牌的确有1/2^9的可能性，而不是0，公式 EV = n/2 - x (1 - 1/2^n)中的n必须是无穷大，而不能到某一项就截止。若你让n取一个固定值，那么那些1/2，1/4，1/8之类的概率就不应该用。

如果是对事实的统计，用EV = n/2 - x (1 - 1/2^n)也不合理，因为应该使用2^(n-1)-x作为发了n轮的某一手牌的结果。

回复  Howard


    但是，无论怎么玩，你得到的只会是一个固定的数，为了这个固定的数，你怎么会愿意拿出 ...
idle 发表于 2010-12-8 09:02

    游戏虽然会在有限手结束，但是计算EV却必须考虑无限轮发牌。这么说吧，任意给定一个买入值，无论多么大，你总能期望你长期平均回报是高于买入的，也即，你是盈利的。

这个题目原型是“圣彼得堡悖论”，维基百科上是这样描述的：

1730年代，数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的堂兄尼古拉·伯努利提出一个谜题：掷硬币，若第一次掷出正面，你就赚1元。若第一次掷出反面，那就要再掷一次，若第二次掷的是正面，你便赚2元。若第二次掷出反面，那就要掷第三次，若第三次掷的是正面，你便赚2*2元……如此类推，即可能掷一次游戏便结束，也可能反复掷没完没了。问题是，你最多肯付多少钱参加这个游戏？

这个游戏的期望值是正无穷是没有问题的。人们不愿意花太多钱玩，也是正常的。比如，你叫他花25块钱，都很少有人玩。

丹尼尔·伯努利对这个悖论的解答在1738年的论文里，提出了效用的概念以挑战以金额期望值为决策标准，论文主要包括两条原理：

   1. 边际效用递减原理：一个人对于财富的占有多多益善，即效用函数一阶导数大于零；随着财富的增加，满足程度的增加速度不断下降，效用函数二阶导数小于零。
   2. 最大效用原理：在风险和不确定条件下，个人的决策行为准则是为了获得最大期望效用值而非最大期望金额值。

对咱们赌徒来说，他说的有点扯淡，没说到点子上。具体该怎么分析，我另起篇文章

虽然理论上EV正无穷，这个游戏的真相是，它在现实中绝对不会存在！因为无论哪一个赌场或个人提出这样一个游戏，他一定是骗人的，因为他不可能付出正无穷的钱。

如果赌场（Banker）的钱是有限的，那么即使世界上最有钱的赌场开这个游戏，玩家期望值也是非常有限的。因为这个期望值跟Banker的最大支付能力成对数增长关系。假设Banker最大支付能力是W，那么

Banker                        Bankroll                        Expected value of lottery
Friendly game                $100                        $4.28
Millionaire                        $1,000,000                 $10.95
Billionaire                 $1,000,000,000         $15.93
Bill Gates (2008)         $58,000,000,000         $18.84
U.S. GDP (2007)         $13.8 trillion                 $22.79
World GDP (2007)         $54.3 trillion                 $23.77
Googolaire                 $10^100                         $166.50

让比尔盖茨做东，期望值才是可怜的18块钱，难怪人们不愿意玩。

这个游戏还有独特之处。那就是多次玩这个游戏的EV比只玩一次的EV要大。假设只玩一次的EV是E1，玩n次的EV是En，那么

En = E1 + 1/2 Log2（n）

E1已经是正无穷，En当然也是正无穷，只不过是比E1还大一点点的正无穷。

计算机模拟显示，平均每次EV随着玩的次数增加的变化趋势是：



确实是逐渐增大的，只不过增大的非常缓慢。

我又仔细读了原贴。 也许我的理解和楼主不同，所以澄清一下这是我的理解：

“假如赌场新推出一个游戏，你 ...
donot 发表于 2010-12-11 08:58

    所有你标注红字的“你需要下注”的地方均不用下注。赌场纯给钱，呵呵。

回复 36# donot


"bank roll=$1 (more accurately: $1<=br<$3)
If you lose (1/2 probability), game over (no money to continue). -$1
If you win (1/2), game over. +$1
EV=-1/2+1/2=0"

即使玩家bankroll很小，游戏也可能永不over，只要庄家的牌永远大。玩家不需要每次发牌都下注。

玩家只需要给这个游戏下一个“总代价”，也就似乎“报名费”，不退费。

也就是说，你的bankroll只有1块钱的时候，是有可能赢到1个billion的。只要庄家连大2^30次。然后第31次你大，就是1 billion。

所以庄家的bankroll有意义，玩家的bankroll无意义。

wudaishi 发表于 2011-9-1 07:10
唯一不明白的就是这个：＂但是，无论怎么玩，你得到的只会是一个固定的数＂，啥意思？
...

你真能翻啊，去年的帖子都挖出来了

这句话是我表述不太清楚。我的意思是无论怎么玩，“一盘”游戏结束后你赢的钱是一个“有限”的数

wudaishi 发表于 2011-9-2 02:03
我最近正在写一个关于集合悖论的文章，目的是在具体问题上辨析集合悖论和语义悖论的区别。正好看到火花写 ...

先说一下，不是不回，是不敢回。这下打把式卖艺的碰上乔峰了，吓得不敢说话。我先研究几个月再开口，免得让人笑话