出道题：KQJ 之No Limit局

不是NoLimit Holdem，是个玩具对局。
甲乙二人heads up，牌敦中只有三张牌：K、Q、J。大小为：K>Q>J

底锅为1，无盲注。有效筹码足够深。每人随机发一张牌。

乙是进攻者，他可选择check/bet，bet量自定（为讨论方便，回帖请用b代表bet量）。甲是防守者，如果乙check，他只能check；如果乙bet，他只能fold/call。没有raise。

现在假设乙决定value bet量和bluff量相等都是b，
问题：乙的最佳bet量b是多大？

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提示：
1） 本问题有一定难度
2）看过我《扑克的本质笔记》一帖的朋友可能对KQJ游戏有印象：乙显然只能bet K （value bet，希望甲拿Q去抓bluff），或者bet J（bluff，希望甲fold Q），绝不能bet Q（甲拿K一定call，拿J一定fold）
3）甲乙都采用Game Theory Optimized策略

我再把我的解题全过程总结一下：
1、一开始我把题目理解错了，没注意Howard的那句话＂此题有一定难度＂，导致我回了一个让人笑掉大牙的帖子。
2、看了Howard的回贴，才把题目读明白。试探性的说了一个解题思路，并且试探性地解题，看了Howard的又一回贴，在他肯定了我的解题思路后，我才把发表我的解题回贴。就是说我的解题过程是得到了很多提示才解出来的。
3、我对Howard的肯定我欣然接受，但对那些赞扬感到有些不安。我没见过原书的解法，也想学习一下。
4、我的解题过程叙述不是非常详细。我认为，对能看懂解题过程的人没必要写得太详细，对看不懂解题过程的人写详细了他还是看不懂，于是略去一些不关键的步骤。
5、解完题目后，我很自信我的结果。楼上提出的没有证明是不是鞍点的疑虑，我也考虑到了这点，因为这是一道有实际意义的应用题，不是一个纯数学题，证明的意义不大。解题过程b有两个解一个是sqrt(2)-1，另一个是-sqrt(2)-2，不合题意，略去，没必要写出来。
6、解完题目后，我没有考虑b,x,y的具体涵义。看了howard的总结后才明白。Howard对b,x,y的解释太精彩了，佩服佩服！

Howard 发表于 2012-6-25 02:46
你给出根号2减一的正确答案我就吃了一惊，但是没有立刻说正确，因为怕打击后来回答问题的人积极性，同时 ...

我贴的不是当初自己用的方法……
我的方法完全是做填空题的思路
首先，相信霍老师，这道题一定有解
其次，假设有解时y的系数为0，这一步是我感到最不安的，我之所以追问notch是因为我其实用了跟他一样的方法，但不知道如何证明其正确性，包括竹林的解法我也没想明白，为什么一定是各个偏导数都是0，万一解出来不是鞍点是极点怎么办，求教。
然后，分情况讨论EV，忽略掉无关的EV和系数中的1/2，我还是用我的abc吧，一看xyz就犯晕
a=Attempt to bluff %
b=Bet size
c=Call %
首先忽略与c无关的部分，得到b-a-ab=0，有ab=b-a和a=1-1/(b+1)
然后忽略与c有关的部分，得到a(-b+1)=a-ab=a-(b-a)=2a-b，求这个式子的极值估计要用到那个著名的不等式，因为a的系数是2，所以最后一定是b+1=sqrt(2)
这么做的话估计大多数人都能心算，我以前就是这么做填空题的，但错一步就2了

zdy32167 发表于 2012-6-25 01:56
关于y的部分学习了，多谢
霍老师的溢美之词让我太惭愧了
运气不好的时候等吃饭是要等很久的……

你给出根号2减一的正确答案我就吃了一惊，但是没有立刻说正确，因为怕打击后来回答问题的人积极性，同时也确实想看看你是怎么算的。这个我真得承认，我光凭心算是算不出来的

Howard 发表于 2012-6-24 16:40
我就不说什么了，只有佩服。zdy32167和竹林的回帖我认真学习了，虽然看起来比较吃力，基本上还是看懂了，完 ...

关于y的部分学习了，多谢
霍老师的溢美之词让我太惭愧了
运气不好的时候等吃饭是要等很久的……
主要的困难在于没有纸笔，因此答案基本是靠猜的，中间跳过了不少步骤
您要是说我算错了，我还得老老实实回家慢慢算……

我就不说什么了，只有佩服。zdy32167和竹林的回帖我认真学习了，虽然看起来比较吃力，基本上还是看懂了，完全正确！

尤其是竹林的11楼回帖，清晰、明确、思路顺畅。说实话跟Bill Chen书上的计算方法不同，但我认为竹林的方法更清晰，更容易理解，要胜过原书的解答方法。

而zdy兄等吃饭的时间就能计算出来，更是让我叹服不已。两位的数学造诣实在是比我高不少。

竹林兄一举解答出了x y b 三个值。其中y=b=sqrt(2)-1。而题目已经表明，甲是无法靠改变y获利的，也就是说，y是多少其实没有关系。那么为什么y还有固定的值呢？因为如果甲和乙都知道对方策略的话，甲就只能用y=sqrt(2)-1，这样他才可以说自己的策略是GTO的，乙无法靠改变x来获利。如果甲不使用sqrt(2)-1，那么他call的频率或者高，或者低。高了，乙就never bluff J，也就是x=0%；低了，乙就always bluff J，也就是x=100% 。 所以，甲要使用这个固定的y值，才能说自己是GTO

zdy32167 发表于 2012-6-23 15:27
这样的证明好像跟你之前的思路不太一样
你之前好像是一步得出来的，就像是引用了什么定理
比方说f(b,x,y) ...

当时的思路是因为说要optimized strategies，也就是说无论y怎么变，都不影响结果
所以直接出了那个系数=0
并没有想得很细

看到你的回帖后想说你的说法也好像有道理
于是反过去重新证明了一下

notch 发表于 2012-6-23 14:23
说实话自己没仔细想过这一点的证明
只是觉得应该如此
试证明如下：

这样的证明好像跟你之前的思路不太一样
你之前好像是一步得出来的，就像是引用了什么定理
比方说f(b,x,y) = y*g(x,y) + h(x, y), 当满足xxx条件时当y=0时有极值……如果这样的话，x的系数是1还是100根本就是一样的。我自己的步骤也像你后面的帖子一样，还不如你严密，而且看上去更像一个偶然，而无法像你前一个帖子一样好像一步得出结果，所以如果你是用了什么我不知道的方法，还望不吝赐教

zdy32167 发表于 2012-6-23 13:30
y(b-bx-x)+x-bx
那么就是应该使b-bx-x=0，且x-bx有最大值

说实话自己没仔细想过这一点的证明
只是觉得应该如此
试证明如下：

这是一个y的一次函数y: [0,1]
如果b-bx-x>0，那么y取0为极小值，x-bx
b>(b+1)x，所以x<b/(b+1)
代入上式，得极值为x-bx=x(1-b)<b(1-b)/(1+b)，后面这个公式在b=sqr(2)-1时最大为3-2sqr(2)
那么当b-bx-x>0时，该值不可能大于3-2sqr(2)

如果b-bx-x<0，那么y取1为极小值，b-bx-x+x-bx=b-2bx
同样得x>b/(b+1)，代入得
b-2bx=b(1-2x)<b(1-b)/(1+b)
也和之前的结论相同

所以只有当b-bx-x=0的时候，该式有极值b(1-b)/(1+b)

如果公式变了，意味着题目的条件也变了
按照你写的公式，意味着当你bet的时候，你有一个100的额外收入
这么一来结论当然也不一样了

notch 发表于 2012-6-23 12:47
我之前认为乙的ev应该是有个极值
但这个值和x,y相关，和b无关

y(b-bx-x)+x-bx
那么就是应该使b-bx-x=0，且x-bx有最大值

这一步我一直不知道是怎么得出来的，包括以前看霍老师的文章也有过这样的疑问，是不是我的知识里缺了什么内容，能不能帮我详细解释一下？
如果有另一组x1,b1，使得y的系数b1-b1x1-x1不为0，使得甲可以通过改变y来使EV有最小值，但这个最优的EV仍然大于x-bx，那通过让b-bx-x=0得出的不就不是最优策略了么?
比方说，如果EV的表达式正好是y(b-bx-x)+100x-bx怎么办？是说有什么判定的原则什么的么？