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标题: 一道著名的悖论题 [打印本页]

作者: Howard 时间: 2010-12-7 06:44
标题: 一道著名的悖论题
看看大家的逻辑能不能搞定它。

假如赌场新推出一个游戏，你跟庄家每人发一张牌比大小，如果你大，则你得到1块钱，这手牌结束；

如果庄大，继续发第二次，
   这次如果你大，得到2块钱，这手牌结束
   如果还是庄大，继续发第三次，
      如果你大，得到4块钱，这手牌结束；
      如果庄大，继续发第四次。。。

以此类推，每次你可能得到的钱都比上次翻倍。假设牌永远发不完。

问：你愿意花多少钱去玩这样一手牌？

计算：这手牌的EV = 1*(1/2) + 2*(1/4) + 4*(1/8) + ... = 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... = 正无穷

不考虑资金管理，只考虑+EV，我们应该愿意拿出正无穷的钱，或者我们所有的钱玩这么一手牌。

但是，无论怎么玩，你得到的只会是一个固定的数，为了这个固定的数，你怎么会愿意拿出正无穷的钱去玩呢？

作者: hahuhu 时间: 2010-12-7 07:19
本帖最后由 hahuhu 于 2010-12-7 07:26 编辑

能用“悖论”这个词的人，一般来说都是思维学学的比较好的人。其实这个悖论问题很简单，就是确定一个基础假设就可以了。任何其他的推论都不能逾越这个基础就不会存在悖论了。
其他著名的悖论还有：
“世界上没有绝对的真理。”
“智游城里的人都说谎话。”
等等。

作者: maomaobiao 时间: 2010-12-7 08:05

看看大家的逻辑能不能搞定它。

假如赌场新推出一个游戏，你跟庄家每人发一张牌比大小，如果你大，则你得到 ...
Howard 发表于 2010-12-7 06:44

好像少说个条件，每把玩家投入小于一圆。嗯？

作者: yacaimei 时间: 2010-12-7 08:46
你肯定这个EV技术下来是正无穷？我怎么觉得应该无限趋向于一个固定值呢，以前高中教过用limit算，现在都还给老师了。

不管怎么样，就像tourment里一样，你损失1个chip的损失程度高于你得到一个chip获益程度，所以现实生活中我不会花钱在50-50的东西里。

作者: cyylce 时间: 2010-12-7 09:14

有点像赌场的新游戏，龙虎，哈哈，不过打和输一半，是-EV
你的游戏结束，EV=0
因为你的游戏没结束ev=任意

作者: tender 时间: 2010-12-7 10:09
虽然我不知道怎么算，但我感觉这个EV的算法是错误的

作者: pokerbean 时间: 2010-12-7 10:30
回复 4# yacaimei

那个数列确实是发散的，也就是说EV是正无穷。

我觉得问题在于这个正无穷EV的前提条件是资金无穷，所以回头再来问“打算拿多少资金玩”是无意义的，因为对任何有穷的资金数，那个EV都不是正无穷而是零了。

作者: bedok 时间: 2010-12-7 10:30
我记得无穷也是有大小的，好像分几个级别

作者: pokerbean 时间: 2010-12-7 10:32
回复 8# bedok

不错。不过此题和无穷的等级无关。

作者: llj187 时间: 2010-12-7 14:23
我觉得EV的计算似乎是不正确的，因为每一个结果（玩了1次，玩了2次，玩了3次。。。。。）都是相对独立的
因此EV的计算应该如下：EV=1*(1/2) or 2*(1/4) or 4*(1/8)
通式为：EV=2^(n)*（1/2^(n+1)）=1/2 （n>=0）
因此我们应该每次用小于等于0.5元钱去玩这个游戏。

作者: ysts 时间: 2010-12-7 14:26
无穷多钱挣到无穷多钱，没有意义。

作者: lisa 时间: 2010-12-7 15:43
又是挠头的问题。

作者: cee 时间: 2010-12-7 16:10

我觉得EV的计算似乎是不正确的，因为每一个结果（玩了1次，玩了2次，玩了3次。。。。。）都是相对独立的
因 ...
llj187 发表于 2010/12/7 14:23

有道理，每手牌玩到结束，收益都是1/2。你愿意花多少钱买0.5$。

作者: rong_garett 时间: 2010-12-7 17:38

我觉得EV的计算似乎是不正确的，因为每一个结果（玩了1次，玩了2次，玩了3次。。。。。）都是相对独立的
因 ...
llj187 发表于 2010-12-7 14:23

我不知道那个计算方法对。但是我觉得你这个结论显然有问题的。因为不管EV是多少，但是得到的肯定是大于等于1的。

作者: Andy 时间: 2010-12-7 19:28
本帖最后由 Andy 于 2010-12-7 19:34 编辑

我觉得这题 N很大的时候，概率越来越趋近于0.
所以EV 可以看成越来越趋近于一个固定值。

作者: Andy 时间: 2010-12-7 19:31
回复 10# llj187

楼上答案肯定是错的。
如果 EV<=0.5 ，你的答案肯定没问题。但是这题EV <=0.5 ？
明显不会的。

作者: llj187 时间: 2010-12-7 20:36
其实大家可以这么去想，如果你花5毛钱去玩，那么你第一次通过1/2的概率赢得比赛恰好拿回1块钱，如果你第二次赢得比赛，那么你将通过花5毛钱赢得2元钱，而在第二次赢的比赛的概率恰好等于0.5/2=1/4，接下来以此类推，因此如果你花5毛钱来玩这个游戏正好不赔不赚，那么我们如果用小于等于5毛钱的代价来参与到这个游戏中来就不会赔的。不知道改成通俗的语言上面不懂得是否懂了点？？？

作者: llj187 时间: 2010-12-7 20:44
哎呀我去！算错了算错了。幡然醒悟。。。
算我抛砖引玉了吧！！

作者: maomaobiao 时间: 2010-12-7 20:55

我觉得EV的计算似乎是不正确的，因为每一个结果（玩了1次，玩了2次，玩了3次。。。。。）都是相对独立的
因 ...
llj187 发表于 2010-12-7 14:23

不是独立的，2次的前提是第一次庄家赢。

所以应该是小于1

作者: maomaobiao 时间: 2010-12-8 02:07
本帖最后由 maomaobiao 于 2010-12-8 02:08 编辑

看看大家的逻辑能不能搞定它。

假如赌场新推出一个游戏，你跟庄家每人发一张牌比大小，如果你大，则你得到 ...
Howard 发表于 2010-12-7 06:44

反正我闲得无聊。好像找到问题了，就是你没说投入，你原文的公式是：

计算：这手牌的EV = 1*(1/2) + 2*(1/4) + 4*(1/8) + ... = 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... = 正无穷

而实际上应该是
EV = （1-x）*(1/2) + （2-2x）*(1/4) + （4-3x）*(1/8) + ...
其中，x是每把玩家的投入，下面的公式中，n 代表进行的手数

[attach]916[/attach]

没贴完整，懒得回去弄了

EV = n/2 + x*(n+2)/2^n - 2x

作者: maomaobiao 时间: 2010-12-8 02:20
本帖最后由 maomaobiao 于 2010-12-8 02:22 编辑

反正我闲得无聊。好像找到问题了，就是你没说投入，你原文的公式是：

计算：这手牌的EV = 1*(1/2) + 2*( ...
maomaobiao 发表于 2010-12-8 02:07

假设每一手buyin是1，那么原来的命题有两个隐藏的条件，玩家不容易注意到。

1：头两把即使赢了，玩家是打平，不获利
2：任何时候玩家自己中止，就是输。

什么意思呢？就是看上去后面回报丰厚，但实际上风险大大的，因为投入更多，资金链断裂。我奇怪火花为什么说不考虑bankroll。

就算不考虑bankroll,那我们考虑的就是risk对应的投资回报率。常识是，高风险，高回报，但仔细想想，难道不应该是高风险，高回报率吗？

下面这个图是风险对应的回报率

[attach]917[/attach]

头两手牌风险控制还可以（接近50%），但是回报竟然是0；然而之后风险陡增，而回报率增长的幅度明显要慢。

以上建立在每看一手牌花1元的基础之上。脑子有点糊涂了，胡乱说的，见笑。

作者: Howard 时间: 2010-12-8 03:29

反正我闲得无聊。好像找到问题了，就是你没说投入，你原文的公式是：

计算：这手牌的EV = 1*(1/2) + 2*( ...
maomaobiao 发表于 2010-12-8 02:07

我的原帖可能叙述有些含糊，让你误解了。问题“你愿意花多少钱玩这样一手牌”，其中“一手牌”的定义是直到你被赌场pay out为止，而不是发一次牌。

比如总共发了10次牌，前9次都是庄家大，第10次你大，你得到2^9=512刀。这10次发牌总共只算1手牌。

所以你的EV公式：
EV = （1-x）*(1/2) + （2-2x）*(1/4) + （4-3x）*(1/8) + ...
不是我想表达的意思，而应该是

EV = （1-x）*(1/2) + （2-x）*(1/4) + （4-x）*(1/8) + ...
= 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... - (1/2 + 1/4 + 1/8 + ...)x
= 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... - x
= 正无穷 - x
= 正无穷

sorry for causing misunderstanding.

作者: maomaobiao 时间: 2010-12-8 07:16
本帖最后由 maomaobiao 于 2010-12-8 07:18 编辑

赌场pay out会包含本金吗？

well it seems too obvious...

作者: maomaobiao 时间: 2010-12-8 07:50

我的原帖可能叙述有些含糊，让你误解了。

不是我想表达的意思，而应该是

EV = （1-x）*(1/2) + （2-x）*(1/4) + （4-x）*(1/8) + ...
= 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... - (1/2 + 1/4 + 1/8 + ...)x

Howard 发表于 2010-12-8 03:29

这个公式没问题，后面的推导有问题

EV = n/2 - x (1 - 1/2^n)

这个值不是正无穷。

将EV 作为 n （number of cards been dealed）和 x （buyin）的函数作图

[attach]918[/attach]

可以发现大部分EV是负的（红色的部分）

同一个图，转过来看，注意下面的等高线，从左边数第三条就是分水岭。从什么时候开始呢？当你的Buyin大于1的时候，你就开始在输钱了。

[attach]919[/attach]

作者: maomaobiao 时间: 2010-12-8 07:55
要EV趋向正无穷要满足两个条件

buying趋向于无穷小，n趋向无穷大

作者: idle 时间: 2010-12-8 09:02
回复 1# Howard

但是，无论怎么玩，你得到的只会是一个固定的数，为了这个固定的数，你怎么会愿意拿出正无穷的钱去玩呢？

这个问题问的有问题，得到固定的数，意味着游戏结束，说明这个游戏是有限手的。而正无穷的钱，意味着你始终没有赢，游戏在无限进行中。两者不能放在一起说的吧

作者: Howard 时间: 2010-12-9 01:27

这个公式没问题，后面的推导有问题

EV = n/2 - x (1 - 1/2^n)

这个值不是正无穷。

将EV 作为 n （numb ...
maomaobiao 发表于 2010-12-8 07:50

俗话说软的怕硬的，硬的怕横的，横的怕不要命的，不要命的怕会用Matlab的。猫猫表这个matlab图给的太漂亮了。以前还有个朋友Matlab也很厉害好像叫llyydd，最近不怎么来了，是不是你马甲？

但是我得说一下，EV之所以叫EV，因为它是Expected Value，而不是对已经发生的事实的统计。在Expect中，第10轮结束这手牌的确有1/2^9的可能性，而不是0，公式 EV = n/2 - x (1 - 1/2^n)中的n必须是无穷大，而不能到某一项就截止。若你让n取一个固定值，那么那些1/2，1/4，1/8之类的概率就不应该用。

如果是对事实的统计，用EV = n/2 - x (1 - 1/2^n)也不合理，因为应该使用2^(n-1)-x作为发了n轮的某一手牌的结果。

作者: Howard 时间: 2010-12-9 01:31

回复 Howard

但是，无论怎么玩，你得到的只会是一个固定的数，为了这个固定的数，你怎么会愿意拿出 ...
idle 发表于 2010-12-8 09:02

游戏虽然会在有限手结束，但是计算EV却必须考虑无限轮发牌。这么说吧，任意给定一个买入值，无论多么大，你总能期望你长期平均回报是高于买入的，也即，你是盈利的。

作者: donot 时间: 2010-12-9 03:42
本帖最后由 donot 于 2010-12-9 03:45 编辑

EV=0
无穷大不是一个数，而是一个级限，或者说是个“趋势”。假设“n”是最大允许手数：
n=1, EV=0,
n=2, EV=0,
n=3, EV=0,
....
n=100, EV=0
任何大数“N”， n=N, EV=0
n=无穷大, EV=0

作者: maomaobiao 时间: 2010-12-9 05:44
本帖最后由 maomaobiao 于 2010-12-9 05:46 编辑

但是我得说一下，EV之所以叫EV，因为它是Expected Value，而不是对已经发生的事实的统计。
Howard 发表于 2010-12-9 01:27

没错，概念上是不一样

要转换很简单，积分即可(也可能函数不收敛)。我图中用的Z坐标叫做EV是不对。

我不是马甲

积分的东西我回头做，这个机器上没有MATLAB

作者: Howard 时间: 2010-12-9 11:28
这个题目原型是“圣彼得堡悖论”，维基百科上是这样描述的：

1730年代，数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的堂兄尼古拉·伯努利提出一个谜题：掷硬币，若第一次掷出正面，你就赚1元。若第一次掷出反面，那就要再掷一次，若第二次掷的是正面，你便赚2元。若第二次掷出反面，那就要掷第三次，若第三次掷的是正面，你便赚2*2元……如此类推，即可能掷一次游戏便结束，也可能反复掷没完没了。问题是，你最多肯付多少钱参加这个游戏？

这个游戏的期望值是正无穷是没有问题的。人们不愿意花太多钱玩，也是正常的。比如，你叫他花25块钱，都很少有人玩。

丹尼尔·伯努利对这个悖论的解答在1738年的论文里，提出了效用的概念以挑战以金额期望值为决策标准，论文主要包括两条原理：

1. 边际效用递减原理：一个人对于财富的占有多多益善，即效用函数一阶导数大于零；随着财富的增加，满足程度的增加速度不断下降，效用函数二阶导数小于零。
2. 最大效用原理：在风险和不确定条件下，个人的决策行为准则是为了获得最大期望效用值而非最大期望金额值。

对咱们赌徒来说，他说的有点扯淡，没说到点子上。具体该怎么分析，我另起篇文章

作者: Howard 时间: 2010-12-9 12:09
虽然理论上EV正无穷，这个游戏的真相是，它在现实中绝对不会存在！因为无论哪一个赌场或个人提出这样一个游戏，他一定是骗人的，因为他不可能付出正无穷的钱。

如果赌场（Banker）的钱是有限的，那么即使世界上最有钱的赌场开这个游戏，玩家期望值也是非常有限的。因为这个期望值跟Banker的最大支付能力成对数增长关系。假设Banker最大支付能力是W，那么

Banker Bankroll Expected value of lottery
Friendly game $100 $4.28
Millionaire $1,000,000 $10.95
Billionaire $1,000,000,000 $15.93
Bill Gates (2008) $58,000,000,000 $18.84
U.S. GDP (2007) $13.8 trillion $22.79
World GDP (2007) $54.3 trillion $23.77
Googolaire $10^100 $166.50

让比尔盖茨做东，期望值才是可怜的18块钱，难怪人们不愿意玩。

这个游戏还有独特之处。那就是多次玩这个游戏的EV比只玩一次的EV要大。假设只玩一次的EV是E1，玩n次的EV是En，那么

En = E1 + 1/2 Log2（n）

E1已经是正无穷，En当然也是正无穷，只不过是比E1还大一点点的正无穷。

计算机模拟显示，平均每次EV随着玩的次数增加的变化趋势是：

[attach]936[/attach]

确实是逐渐增大的，只不过增大的非常缓慢。

作者: maomaobiao 时间: 2010-12-9 13:13
本帖最后由 maomaobiao 于 2010-12-9 13:17 编辑

这里的EV，就是一条无限接近Y轴且平行于Y轴的直线所覆盖的面积。你可以说他无穷大，但是没什么意义。

这就好比：

要是回答你最初的问题，我愿意拿出多少钱来玩这个游戏？

在每次回到起点的时候，我总是用我手头现有bankroll的50%来玩。我肯定不会破产。

作者: donot 时间: 2010-12-11 08:58
本帖最后由 donot 于 2010-12-11 10:41 编辑

我又仔细读了原贴。也许我的理解和楼主不同，所以澄清一下这是我的理解：

“假如赌场新推出一个游戏，你跟庄家每人发一张牌比大小 (但是你得下注) ，如果你大，则你得到1块钱，这手牌结束；

如果庄大，继续发第二次，(但是你得下注x2)
   这次如果你大，得到2块钱，这手牌结束
   如果还是庄大，继续发第三次，(但是你得下注x4)
      如果你大，得到4块钱，这手牌结束；
      如果庄大，继续发第四次。。。

以此类推，每次你可能得到的钱都比上次翻倍。假设牌永远发不完。“

如果不这么理解，这个问题没什么意义。  下面证明了下注$1 EV=0。 (我假设上面的钱数是下注以外从庄家赢的数。这样数整，好写。)

回复 31# Howard

"这个游戏的期望值是正无穷是没有问题的。"
这是不对的。 matlab是不必要的，而且算地不对。大家看来没读我的回贴，也许我没说清楚。看看这回是不是能讲地明白些。

bank roll=$1 (more accurately: $1<=br<$3)
If you lose (1/2 probability), game over (no money to continue). -$1
If you win (1/2), game over. +$1
EV=-1/2+1/2=0
当然如果你赢了,你可以从头玩。但EV还是“0”。

bank roll=$3
You lose 2 hands (1/4), game over. -$3
You win the first hand or lose the first and win the second (3/4), game over: +$1
EV=-3*1/4+3/4=0

2^n-1<=bank roll<2^(n+1)-1 (最多可以连输"n"手，才没钱继续)
EV=-(2^n-1)/2^n+1/2+1/4+...+1/2^n=0

EV=0, while n-> infinity

Howard 原贴的公式少了一项。这里涉及了极限中一个易错的地方：无穷大*无穷小=？希望讲明白了。

作者: Howard 时间: 2010-12-11 14:15

我又仔细读了原贴。也许我的理解和楼主不同，所以澄清一下这是我的理解：

“假如赌场新推出一个游戏，你 ...
donot 发表于 2010-12-11 08:58

所有你标注红字的“你需要下注”的地方均不用下注。赌场纯给钱，呵呵。

作者: donot 时间: 2010-12-11 14:55
回复 35# Howard

Have you check the math?

作者: Howard 时间: 2010-12-12 00:06
回复 36# donot

"bank roll=$1 (more accurately: $1<=br<$3)
If you lose (1/2 probability), game over (no money to continue). -$1
If you win (1/2), game over. +$1
EV=-1/2+1/2=0"

即使玩家bankroll很小，游戏也可能永不over，只要庄家的牌永远大。玩家不需要每次发牌都下注。

玩家只需要给这个游戏下一个“总代价”，也就似乎“报名费”，不退费。

也就是说，你的bankroll只有1块钱的时候，是有可能赢到1个billion的。只要庄家连大2^30次。然后第31次你大，就是1 billion。

所以庄家的bankroll有意义，玩家的bankroll无意义。

作者: donot 时间: 2010-12-12 08:27
本帖最后由 donot 于 2010-12-12 08:28 编辑

回复 37# Howard

"即使玩家bankroll很小，游戏也可能永不over，只要庄家的牌永远大。玩家不需要每次发牌都下注。"

我们的理解不一样。详见我上面的红字(#34)。如果玩家不需要每次发牌都不下注，结果是发散的。换句话说，多少钱都值，如果不在乎时间。

作者: donot 时间: 2010-12-12 14:30
回复 1# Howard
"但是，无论怎么玩，你得到的只会是一个固定的数，为了这个固定的数，你怎么会愿意拿出正无穷的钱去玩呢？"

严格地说应该是：无论价格是多少，都值得玩。 (N=正无穷的定义： any "n", N >n)

作者: 0927 时间: 2010-12-12 21:39
坐等高人解决

作者: wudaishi 时间: 2011-9-1 07:08
唯一不明白的就是这个：＂但是，无论怎么玩，你得到的只会是一个固定的数＂，啥意思？

作者: wudaishi 时间: 2011-9-1 07:10

Howard 发表于 2010-12-9 12:09
虽然理论上EV正无穷，这个游戏的真相是，它在现实中绝对不会存在！因为无论哪一个赌场或个人提出这样一个游 ...

唯一不明白的就是这个：＂但是，无论怎么玩，你得到的只会是一个固定的数＂，啥意思？

作者: Howard 时间: 2011-9-1 21:42

wudaishi 发表于 2011-9-1 07:10
唯一不明白的就是这个：＂但是，无论怎么玩，你得到的只会是一个固定的数＂，啥意思？
...

你真能翻啊，去年的帖子都挖出来了

这句话是我表述不太清楚。我的意思是无论怎么玩，“一盘”游戏结束后你赢的钱是一个“有限”的数

作者: wudaishi 时间: 2011-9-2 02:03
本帖最后由 wudaishi 于 2011-9-2 10:24 编辑

Howard 发表于 2011-9-1 21:42
你真能翻啊，去年的帖子都挖出来了

这句话是我表述不太清楚。我的意思是无论怎么玩，“一盘”游戏结束后 ...

我最近正在写一个关于集合悖论的文章，目的是在具体问题上辨析集合悖论和语义悖论的区别。正好看到火花写的这个贴子与悖论有关，所以特意仔细看了一遍。因为篇幅和使用电脑的工具所限，只能把我的想法不太严谨地表达一下。
火花所表达的与圣彼得堡悖论有一定的差别，我们暂且称之为火花悖论吧。

我们仔细看会发现，火花悖论和圣彼得堡悖论虽然描述方式不同，但前半部份的设定在数学（逻辑）上是等价的。差别在于后半部分，且看火花悖论：“无论怎么玩，你得到的只会是一个固定的数，为了这个固定的数，你怎么会愿意拿出正无穷的钱去玩呢？”
再看火花后来回答我问题时对这句话的补充解释——无论怎么玩，“一盘”游戏结束后你赢的钱是一个“有限”的数。
问题就在这个地方：题设中的收益无穷大是一个理论上的结果，穷尽了一切可能的情况，包括概率无穷小事件，而无穷小的出现就引出了一个很严峻的问题——集合论的连续统问题。我会在下文会提到这个问题中暗含了“芝诺悖论”的模型，而芝诺悖论的实质是无穷集合问题。
而“无论怎么玩，你得到的只会是一个固定的数字”并不是一个逻辑上的必然结论。因为概率无穷小并不等于不会出现，无穷小并不是没有。所以，即使在现实操作中它几乎不可能出现，但你不能说它必然不会出现。当这个概率无穷小事件发生的时候，其收益是无穷大的，因此在逻辑上收益有可能是一个无穷大值。但是在现实操作中，要实现这个收益无穷大，不仅意味着概率无穷小事件的出现，还意味着这次玩牌进行了无限多轮次，永无终结。理论上当然有可能，但是现实中游戏一定会中止。
所以这个结论暗含着常识性的时间限制因素，看看火花反驳idle的时候所阐述的理由就更清楚了： “游戏虽然会在有限手结束，但是计算EV却必须考虑无限轮发牌。”（而idle恰恰指出了问题的本质：“ 但是，无论怎么玩，你得到的只会是一个固定的数，为了这个固定的数，你怎么会愿意拿出正无穷的钱去玩呢？——这个问题问的有问题，得到固定的数，意味着游戏结束，说明这个游戏是有限手的。而正无穷的钱，意味着你始终没有赢，游戏在无限进行中。两者不能放在一起说的吧” ）。
“游戏会在有限手结束”，其实只是一个经验性的结论，理论上游戏完全有可能永远不结束。
一个经验性的结论无法构成对一个以“无穷小和无穷大为基础元素的”抽象数学结论的反驳，此处并不存在逻辑悖论。

结论，火花悖论是一个因前后使用概念不一致而导致的悖论（类似于语用悖论），前一个是逻辑结论，后一个严格意义上是一个经验结论。

稍微展开说几句：

在圣彼得堡悖论中，游戏中每一个可能结果的期望值是固定的：1／2，但游戏的期望值是所有可能结果的期望值之总和，这个是无穷大的，但是前提是该游戏是一个回合无穷多的游戏（火花悖论也说了，牌永远发不完），试看火花给出的公式：
EV = 1*(1/2) + 2*(1/4) + 4*(1/8) + ... = 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... = +∞
当然，真正的EV还需要考虑减去成本，再看火花后来在跟maomaobiao讨论中列出的考虑成本的EV
EV = （1-x）*(1/2) + （2-x）*(1/4) + （4-x）*(1/8) + ...
= 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... - (1/2 + 1/4 + 1/8 + ...)x
= 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... - x
= 正无穷 - x
= 正无穷
我们换一个思路来看这个计算式：假如游戏无论进行了多少轮次，我们能得到的奖金都是固定的1，那此种情况下：
EV=1/2+1/4+1/8+⋯－x=1-x，在其中我们看到了芝诺飞矢不动悖论的算式。
同时可以看出，火花悖论（圣彼得堡悖论）中的无穷大结果是由于奖金＝2n次方这个前提导致的，n为游戏进行的轮次。也就是说，实质上并不是因为轮次无限多导致了期望值无穷大，而是“奖金在无限多轮次后会变得无穷大”导致了期望值无穷大，但这两个无穷大并不相等。
因为，EV是所有可能情况下期望的加权综合，那么在概率无穷小情况下出现的无穷大奖金是各种期望中的极值，它一定大于EV，于是就出现了一个无穷大＞另一个无穷大的情况。⋯⋯集合论中很多熟悉的概念开始出现了⋯⋯就此打住，再说下去就没完没了，也超出我的能力范围了。

火花反驳maomaobiao的理由是：“EV之所以叫EV，因为它是Expected Value，而不是对已经发生的事实的统计⋯⋯若你让n取一个固定值，那么那些1/2，1/4，1/8之类的概率就不应该用”。
火花力图说明一个问题：游戏的轮次是有限的，其收益是对已经发生的事实的统计，而期望则包含无穷多种可能性的计算；在有限的样本下，事件发生的实际状况与无穷样本下的概率是不等同的。我觉得火花在此处已经挣脱了火花悖论，直指圣彼得堡悖论的实质。

1 先看看圣彼得堡悖论的本来面目：
引用火花在维基百科上查到的结果“这个题目原型是“圣彼得堡悖论”，维基百科上是这样描述的：1730年代，数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的堂兄尼古拉·伯努利提出一个谜题：掷硬币，若第一次掷出正面，你就赚1元。若第一次掷出反面，那就要再掷一次，若第二次掷的是正面，你便赚2元。若第二次掷出反面，那就要掷第三次，若第三次掷的是正面，你便赚2*2元……如此类推，即可能掷一次游戏便结束，也可能反复掷没完没了。问题是，你最多肯付多少钱参加这个游戏？”
但据我对圣彼得堡悖论的了解，其悖论的产生正是源于理论期望值与实际投掷多次得到奖金的数额完全不符合，因而导致即使人们在理论上知道其期望无穷大，但仍然不会去支付成本参加这样的游戏，理性收益模型和实际决策产生了不一致，因此才会出现用调整决策模型中的效用计算方式来消除悖论的方法。
从这个悖论诞生至今已经200多年，消除悖论的方法总结起来大约有三种——边际效用递减论、风险厌恶论和效用上限论。这三个解决方法各有各的缺陷，大家稍稍花点时间查一下相关资料很快就能明白，里面也没有太复杂的数学。
特别提一下“效用上限论”，其实就是火花在这个贴子的32＃所提到的“虽然理论上EV正无穷，这个游戏的真相是，它在现实中绝对不会存在！因为无论哪一个du场或个人提出这样一个游戏，他一定是骗人的，因为他不可能付出正无穷的钱⋯⋯让比尔盖茨做东，期望值才是可怜的18块钱，难怪人们不愿意玩。”
仔细思考这个理论，我们会发现： “在现实中不会存在”，是因为资金量不会无穷大，但为什么需要资金量无穷大才能使游戏成立呢？因为得出资金量无穷大的正是前面火花所写的那个EV公式，也就是说，否认这个游戏的可能性正是基于承认其理论上的期望值是无穷大的。这个理论完全没有反驳理论上期望值计算的正确性，只是从实际的支付能力角度说明了即使产生无穷大的收益由于没人能兑现，所以你赢的钱到不了手。但如果都是以实际操作层面的可能性和可行性作为决策的依据，那么连EV无穷大这样的结论都无法得出，因为此结论正是基于游戏轮次可以无穷多的假设。而实际上生命有限，游戏焉能无限？如果游戏可以无限，那为什么考虑支付能力的时候又以一个具体／有限时间范畴里的情况作为依据的呢？这个理论，根本上来说以其否定的理论为前提得出对这个理论的反驳，恰恰是一个标准意义上的悖论。这个悖论的产生是因为使用的概念（在这个命题中具体表现为使用的假设条件）不一致，也属于“语用悖论”，以一个语用悖论来消除悖论当然是不可能的。

2 我理解的圣彼得堡悖论的实质：理论上期望值是无穷大的，这个没什么错误，但实际操作中的结果是有限多次试验的均值，亦即样本均值，样本均值随着样本容量的增加，以概率收敛于其期望值。　
实际试验的样本均值随着实验次数的增加而变大。在大量实验以后，其实验均值近似于logn/log2，可见当n趋向无穷大的时候，样本均值也趋向无穷大。10的6次方次实验的平均值约为6/0.301=19.9，当样本均值达到1 000时，实验次数为10的332次方，这时候如果每次试验（游戏）都要支付成本，那么我们需要支付的成本已经高达x＊10的332次方⋯⋯虽然随着试验次数的不断趋向无穷大，我们最终是收益无穷大的，但在实验次数趋向无穷大的时候，收益趋向于无穷大的速度慢多了。显而易见，任何一个人都不会为了这个“要玩无穷多次才能得到无穷大收益，即使玩了非常非常多次仍然大概率大额度亏钱”的游戏买单。

3 结论：圣彼得堡悖论并非一个严格意义上的逻辑悖论：逻辑悖论有三种——语用悖论、语义悖论和语形悖论（这个是各位理工科同学最熟悉的数学悖论），在此没有篇幅展开讨论每一种悖论的差别，如果有人有兴趣，我们可以单开一贴探讨之，但这个跟扑克毫无关系，估计版主会删掉。

它更多的是关于随机问题的理解和计算，是因无穷大和无穷小之潜在性和实在性的差别而导致的思维成果与现实世界的不一致，是广义上所谓的矛盾，但并非狭义上的逻辑悖论。唉，无穷是一个非常美妙的问题，既是数学问题，也是哲学问题，我很想深入研究一下，可惜时间和资质都有限⋯⋯

认知统一体（我们每个具体的人或者人类作为一个智慧生物整体都算是认知统一体）存续的有限性也许正是无限问题如此深奥难解的原因所在吧。

作者: Howard 时间: 2011-9-2 22:26

wudaishi 发表于 2011-9-2 02:03
我最近正在写一个关于集合悖论的文章，目的是在具体问题上辨析集合悖论和语义悖论的区别。正好看到火花写 ...

先说一下，不是不回，是不敢回。这下打把式卖艺的碰上乔峰了，吓得不敢说话。我先研究几个月再开口，免得让人笑话

作者: maomaobiao 时间: 2011-9-7 19:51

wudaishi 发表于 2011-9-2 04:03
我最近正在写一个关于集合悖论的文章，目的是在具体问题上辨析集合悖论和语义悖论的区别。正好看到火花写 ...

哇，被人点名了要我来看看。一看吓了一跳，你喊我前辈让我有些汗颜。

我觉得wudaishi 应该是触及这个问题的本质了。虽然洋洋洒洒地他写了很多，看着让人有点晕，但我觉得他最后的总结很不错：这严格意义上说不是一个逻辑的悖论，而是一个数学问题。

一个理论上发生的概率无穷小的事件对应于理论上无穷大的回报。

而实际上生命有限，游戏焉能无限？这句话我喜欢，火花说的没人能做庄，也是要看Bankroll的大小而言。对于我们这样的人，比尔盖茨坐庄足够了。这也是我有个帖子里说过，我的决策是，永远拿手头的Bankroll的 1/2 来进行这个游戏就好了。哈哈，睡觉前不想思考太多这种问题，否则睡不着。

作者: srapix 时间: 2011-9-7 21:10
在任何第n步，你都是有1/2^n的概率获得回报2^n，所以任何第n步的期望回报都是1.只要是有限次,ev就是1.

作者: wudaishi 时间: 2011-9-7 22:49

maomaobiao 发表于 2011-9-7 19:51
哇，被人点名了要我来看看。一看吓了一跳，你喊我前辈让我有些汗颜。

我觉得wudaishi 应该是触及这个问 ...

谢谢maomaobiao，我写了那么长没人理会，有点小小的失落（花了我好几个小时呢，因为要把所有的回帖都仔细看过），看到你们之前讨论得那么热火，好生羡慕，可惜那时我还没有开始玩扑克，不知道这个地方。非常喜欢你们探讨问题的气氛。我虽然也希望能多参与探讨与扑克有关的实战的话题，但是我的水平和经验实在差太远了，所以能下笔的都是理论问题。总之，就是想表达我积极融入城内生活的期望。

作者: maomaobiao 时间: 2011-9-8 05:43

wudaishi 发表于 2011-9-8 00:49
谢谢maomaobiao，我写了那么长没人理会，有点小小的失落（花了我好几个小时呢，因为要把所有的回帖都仔细 ...

欢迎欢迎。你这样的science geek和我有点惺惺相惜吧，哈哈

想想我当初加入这个论坛的时候，不也是和你一样。打牌是一回事，找到投脾气的聊几句天才是关键。

打牌和泡论坛也是一样的，是个耐心活儿，日子久了，你就会认识更多的朋友了。只不过眼下我个人的感觉，自从FTP被封了之后，智游城冷清了不少。

作者: Howard 时间: 2011-10-21 00:47
2个月快过去了，我还在迷糊44楼的几句话，例如

也就是说，实质上并不是因为轮次无限多导致了期望值无穷大，而是“奖金在无限多轮次后会变得无穷大”导致了期望值无穷大，但这两个无穷大并不相等。

我觉得我系统研究是不太可能了。这些东西是对我觉得最为醒目的：

逻辑悖论有三种——语用悖论、语义悖论和语形悖论

我还真没琢磨过悖论也有好几种。我之前的理解很粗浅，认为悖论就是 1. 咋说咋有理的话（”我没在说谎“），2. 明显与直觉违背的真相。我此处悖论是取的2，与事实违背。

必须要学习逻辑学，要不然就会出现经常自认为最讲逻辑的我认识到自己其实逻辑混乱，感觉是比较落后的厄

作者: wudaishi 时间: 2011-11-15 14:46

Howard 发表于 2011-10-21 00:47
2个月快过去了，我还在迷糊44楼的几句话，例如

我举个例子吧：所有的命题都是假命题。这句话你怎么分析？

作者: Howard 时间: 2011-11-16 00:40

wudaishi 发表于 2011-11-15 14:46
我举个例子吧：所有的命题都是假命题。这句话你怎么分析？

这就属于怎么说怎么有理，无法判断其真伪。是不是应该算语义悖论？

你说此命题为真，那根据他说述，所有命题都是假，这所有命题也包括他自己，那他自己就是假的；

你说此命题为假，那就是说，存在真命题。于是，咦，怎么没有矛盾了。

这个命题不是悖论啊，是个假命题。他的反面是“逻辑正确”的，也即：并非所有的命题都是假命题。

作者: Jsli 时间: 2011-11-16 03:22
看好卧德扑士里的1-8

看那些计算头大阿

作者: Howard 时间: 2011-11-17 04:28

Jsli 发表于 2011-11-16 03:22
看好卧德扑士里的1-8

看那些计算头大阿

只要还至少一个人看，我就有动力继续下去。万分感谢！

作者: wudaishi 时间: 2011-11-28 03:44
本帖最后由 wudaishi 于 2011-11-28 03:46 编辑

Howard 发表于 2011-11-16 00:40
这就属于怎么说怎么有理，无法判断其真伪。是不是应该算语义悖论？

你说此命题为真，那根据他说述，所有 ...

你说此命题为真，那根据他说述，所有命题都是假，这所有命题也包括他自己，那他自己就是假的；

你说此命题为假，那就是说，存在真命题。于是，咦，怎么没有矛盾了。（当然有矛盾啦，既然存在真命题，那么“所有命题都是假命题”岂不就是错的？因为并不是所有命题都是假命题啊。）

这个命题不是悖论啊，是个假命题。他的反面是“逻辑正确”的，也即：并非所有的命题都是假命题。（根据上面的说法，你的这个结论不太成立）

其实从我的理解里，这句话的逻辑分析如下（为了方便大家都能理解，我都用文字来表述）：

1 首先要明确什么是命题，命题并不是一句话，而是一个判断式。“所有命题都是假命题”这是一个判断式，也是一个命题。
2 “所有命题都是假命题”中的“所有命题”到底是什么？如果“所有命题”是指“命题的集合”，则这个判断式是说：命题的集合是假命题，命题的集合本身并不一定是命题，至少与这个集合中的命题并不是同样的命题（参考罗素悖论），例如，羊是类属于动物的，但是羊组成的集合——羊群——不再类属于动物，某一只羊也不类属于羊群。所以当你要说“命题的集合”是假命题的时候，本身这个判断式（也就是这个命题）就是不成立的。
3 如果“所有命题”只是一个名词，并不代表“各种命题的集合”，那么这个“所有命题”也就并非命题，那又如何能说一个不是命题的东西是假命题呢？因此，这里的所谓“所有命题都是假命题”也是一个错误的判断式。
4 因此，无论“所有命题”的语义是以上两种中的任何一种，“所有命题都是假命题”这个判断式都是一个假命题，不存在悖论。这算是一个非典型的语义悖论。

我们俩就别要求有人关注此贴了，反正这个话题跟扑克也没啥关系，咱就自娱自乐吧

作者: maomaobiao 时间: 2012-1-18 12:20
今天看到一个类似讨论，就来翻这个帖子。发现居然没有加精！？召唤版主！！

看看别人的说法，虽然中间的表述有明显的错误，但是不妨碍最后的结论有挺深的意义。让我更多地明白了火花的这个帖子的含义。以下转载

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你有100刀，每次买入1刀，100个buyin，当你输到50个buyin的时候自动降级成0.5刀买入。
有个富翁，假设他钱无限，赔你玩任意级别的对赌。但有个条件是你下了桌就不能再上桌。

每把牌2人明牌，给你AA，给富翁22，  preflop allin ，富翁输掉后double buyin跟你一样深度；继续AA和22的preflop allin，请问你的最大的 USD EV 极限应该是多少？无限玩下去，你的极限是0（转载注：这句话原作者错了）；但是有了保险后，你的极限收益是多少？

其实live 和 online的区别就是，online可以多桌，用大样本的概率来自己内部对冲风险，所以有bankroll的概念，并采用开多桌提高收益；但live只能是开单桌，如果有保险的话，其实就是提高了你的边际资金使用杠杆，变相的扩大了bankroll，假设你的技术水平保证你一直能进行+ev的行为的话，在合理采用保险的情况下，可以用5/10的局上升到10/25，虽然有可能由10bb/百手降低到 9bb/百手，但单位时间的收益实际上是增加了。

两者的区别只是内部对冲和外部对冲；保险只是个工具，采用合理的金融工具提高收益，降低波动。

作者: maomaobiao 时间: 2012-1-18 12:56
本帖最后由 maomaobiao 于 2012-1-18 15:38 编辑

上面转载的内容让我重新思考了这个问题。

假设buying = a。如果事先我们不知道赢率，设胜率为x，那么我们能够进行到第n 轮游戏的概率为 x^(n-1)

作为独立事件的话，第n次游戏的 EV = x*2^(n-1)，所以游戏进行n次并且结束的 EV（n）= 0.5*（2*x)^n。当 x = 0.5 时是定值 0.5。

也就是说，当胜率为0.5 的时候，你玩这个游戏用小于0.5的钱来玩总是赚的，用0.5块钱玩，就是不亏不赚（回家和儿子拖板车都比这个有意思）。投入大于 0.5，那你就完了，在送钱。

又回头看了条件，好像tmd说的不是一回事。再说吧。

作者: maomaobiao 时间: 2012-1-18 13:42

Howard 发表于 2010-12-9 14:09
虽然理论上EV正无穷，这个游戏的真相是，它在现实中绝对不会存在！因为无论哪一个赌场或个人提出这样一个游 ...

还是看回这里让我清醒了一点。

我恨你火花，想一次让我头大一次。

作者: notch 时间: 2012-1-18 14:14
本帖最后由 notch 于 2012-1-18 14:29 编辑

感觉这个命题里头没有提到你需要压钱进去阿。
如果不需要压钱，那有啥成本啊？
白赚的当然就随便玩
也不存在需要无穷多的钱

如果需要压钱
那么就是一个能赚多少的问题
当然压的越少越好

如果变成两个人竞价
谁出的报名费高，谁来玩一次这个游戏
你最高可以出到多少报名费
那就比较头疼了

作者: maomaobiao 时间: 2012-1-18 17:06

notch 发表于 2012-1-18 16:14
感觉这个命题里头没有提到你需要压钱进去阿。
如果不需要压钱，那有啥成本啊？
白赚的当然就随便玩

你和我最初的疑惑是一样的。

其实问题是，假定你要花 x 元来玩这个游戏，然后~@#~!@$!@#~^&^&*#。

作者: dolphin 时间: 2012-1-18 17:29
本帖最后由 dolphin 于 2012-1-18 04:35 编辑

St. Petersburg Paradox，你去查吧。

刚发现#44楼大都回了。。。这坛子里都是些什么人啊。

作者: kaisi 时间: 2018-7-21 10:59
这ev这么算的么

欢迎光临智游城 (http://www.zhiyoucheng.co/)