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标题: 0127概率题 [打印本页]

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作者: 昆仑苍狼    时间: 2016-1-27 08:53
标题: 0127概率题

70个球 完全随机的进25个洞
允许一洞多球
那么70个球全进完后 25洞全被进入一球以上的概率是多少
答案19.8%
http://www.zhiyoucheng.co/thread-16866-3-1.html

时间荏苒啊，这一晃快一年过去了，又几把差它了一年
上面问题的升级版

25洞全进的话能得1000刀jacpot 现在对于钻石卡会员有优惠政策 从下面3个option里选一个

1 70球增加为80个球
2 jacpot1000刀 改为2000刀
3 上来免费填上5个洞 （不填死，后续还能进球）

哪个ev高？ 第3个怎么算？
如果ev都和2000刀一样的话 需要几个球or填满几个洞？

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作者: Howard    时间: 2016-1-27 23:19
这道题非常有意思，先留个名，慢慢再算。

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作者: Howard    时间: 2016-1-28 03:53
原始的70球25洞，概率是19.68%，奖金 1000元，因此EV是196.8元。

1， 70球增加为80个球

这个问题很简单，依据一年前算70球25洞的思路，可以算出，概率是35.31%
奖金仍然1000元，EV是353.1元，没有翻倍。


2. jackpot1000刀 改为2000刀
这就更简单了，EV = 196.8*2 = 393.6元

关键是第三步

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作者: Howard    时间: 2016-1-28 04:31
3. 上来免费填死五个洞

洞编号为1-25号。填死的是21-25号。

假设A1 (1为下标) 表示1号洞为空，A2表示2号洞为空，。。。。。 Aj表示第j号洞为空，。。。。A20表示第25号洞为空。
当然我们已知A21-A25是不可能事件，也就是P(A21) = 0, ... P(25) =0

所求概率为 1 - P(A1∪A2∪A3...A20)

Inclusion-Exclusion定理依然成立，
这个定理基本上是说，你要想求一堆东西的并集的发生概率，可以这样做：
1. 先求出单个元素的发生概率，将其相加
2. 再从中减去 所有两两元素同时发生的概率
3. 再从中加上 所有三元素同时发生的概率
4. 再从中减去 所有四元素同时发生的概率
.....
n. 最后从中加上（也可能是减去，取决于n的奇偶） 所有n元素同时发生的概率

用到这一题上，就是
   P（A1∪A2∪A3∪A4∪.... A20）
= P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(A20)
- P(A1∩A2) - P(A1∩A3)- P(A1∩A4)- P(A2∩A3) ..... 【本行共C(20,2)项】
+ P(A1∩A2∩A3) + P(A1∩A2∩A4) + P(A1∩A3∩A4) + P(A2∩A3∩A4)  ..... 【本行共C(20,3)项】
....
- P (A1∩A2∩A3∩A4∩A5....∩A20)

由对称性，
P(A1) = P(A2) = P(A3) = .... =P(A20)；
P(A1∩A2) = P(A1∩A3) = P(A1∩A4) = P(A2∩A3) = .... =P(A19∩A20)
P(A1∩A2∩A3) = P(A1∩A3∩A4) =  .... =P(A18∩A19∩A20)

也就是说，P括号里面只要项数相同，概率都一样。

则
   P（A1∪A2∪A3∪A4∪.... A20）
= C(20,1) * P(A1)
-  C(20,2) * P(A1∩A2)
+ C(20,3) * P(A1∩A2∩A3)
- C(20,4) * P(A1∩A2∩A3∩A4)
....
-C(20,20) * P (A1∩A2∩A3∩A4∩A5....∩A20)  

= C(20,1) * (24/25)^70
- C(20,2) * (23/25)^70
+ C(20,3) * (22/25)^70
- C(20,4) * (21/25)^70
...
+(-1)^(j-1) * C(25,j) * ((25-j)/25)^70
...
-C(20,20) * (5/25)^70

= 0.719969102

所以其余20洞均不为空的概率就是1-0.719969102 = 28.00%

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作者: Howard    时间: 2016-1-28 04:40
若要使得填洞法的EV等于奖金翻倍，请看下表

填洞数  无空洞概率
0         19.7%
1         21.1%
2         22.7%
3         24.4%
4         26.1%
5         28.0%
6         30.0%
7         32.1%
8         34.4%
9         36.7%
10       39.3%
11       41.9%
....
23       88.8%
24       94.3%
25       100%


19.7%的两倍是39.4，大约在10洞左右。

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作者: 昆仑苍狼    时间: 2016-1-28 09:02

Howard 发表于 2016-1-28 04:40
若要使得填洞法的EV等于奖金翻倍，请看下表

填洞数  无空洞概率

我真他妈服你了。。。。

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作者: 昆仑苍狼    时间: 2016-1-28 09:28

Howard 发表于 2016-1-28 04:40
若要使得填洞法的EV等于奖金翻倍，请看下表

填洞数  无空洞概率

继续麻烦你

如果一个洞已经进了1个球 那么洞就升级为绿色 再进就给40块奖励，同时升级为黄色，再进就给80，直到变成红色 200封顶
变红色后进一个给200，但是不能再升级了
2hit  40
3hit  80
4hit  140
5or more hit  200

问 在不中jacpot的情况下， 获得奖励的EV为多少钱？

这个解析法好像太难了。。。。

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作者: alanning619    时间: 2016-1-28 09:28
膜拜一下，厉害。
PS，我是昆仑苍狼的朋友

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作者: Howard    时间: 2016-1-28 22:33

昆仑苍狼 发表于 2016-1-27 19:28
继续麻烦你

如果一个洞已经进了1个球 那么洞就升级为绿色 再进就给40块奖励，同时升级为黄色，再进就给80 ...

解析虽然麻烦一点，但也是可以做的。

不过，现场遇到这类问题，要求尽快得出一个猜测的结果，可以先估计一下。

1球：0
2球：40，平均每球20
3球：80，平均每球26.7
4球：140，平均每球35
5球：200，平均每球40
6球：200，平均每球33.3
5球以上每球均值降低

最佳状态就是每洞恰好中5球。75个球可填满15个洞，每洞200，共3000。这是理论上限。

理论下限是75个球都进了同一个洞，奖金200。

平均分布（但无jackpot）是24个洞平均每洞3.125球，21洞3球，3洞4球，奖金2100

我猜期望值会是2100-3000之间，靠近2100，如果非要估计一个数那就2250吧。

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作者: Howard    时间: 2016-1-29 02:10


该问题要求的是下面六种情况下的条件概率：

P（指定某洞为0球|至少一洞为空）
P（指定某洞为1球|至少一洞为空）
P（指定某洞为2球|至少一洞为空）
P（指定某洞为3球|至少一洞为空）
P（指定某洞为4球|至少一洞为空）
P（指定某洞为5+球|至少一洞为空）

先看第一种情况P（指定某洞为0球|至少一洞为空）
根据条件概率的定义P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
所以
P（指定某洞为0球|至少一洞为空）
= P （指定某洞为空，且至少一洞为空）/ P（至少一洞为空）
= P （指定某洞为空）/P（至少一洞为空）
= (24/25)^70 / 0.803264
= 0.07147

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作者: Howard    时间: 2016-1-29 02:44


再看第二种情况P（指定某洞为1球|至少一洞为空）

直接求极为困难，至少我还没有想出好办法。
但是，贝叶斯公司派上了用场。
根据贝叶斯，P(A|B) = P(B|A)*P(A) / P(B)

所以
P（指定某洞为1球|至少一洞为空）
= P （至少一洞为空|指定某洞为一球）× P（指定某洞为一球）/ P（至少一洞为空）

上式有三部分，
第一部分，也就是分子左侧，
P （至少一洞为空|指定某洞为一球）
其实就是剩余69个球在剩余24个洞里不中jackpot的计算，
根据前面积累的知识，这部分是0.76065

第二部分，也就是分子右侧，P（指定某洞为一球）
= 先挑一个球在该洞，再把剩余69个球随便放入24个洞
= 70×24^69 / 25^70
= 0.16745

第三部分，也就是分母，
P（至少一洞为空）
这也就是普通70球25洞不中jackpot的概率，
根据前面积累知识，这部分是0.80326

三部分整合到一起，
P（指定某洞为1球|至少一洞为空）= 0.76065 * 0.16745 / 0.80326 = 0.1586

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作者: Howard    时间: 2016-1-29 03:00
第二种情况出来了，剩下的四种情况就顺水推舟了

第三种情况
P（指定某洞为2球|至少一洞为空）
=（至少一洞为空|指定某洞为2球）× P（指定某洞为2球）/ P（至少一洞为空）
= P(68球在24洞里不中jackpot) × P（先挑出2球在该洞，剩下68球随意在24洞）/ 0.80326
= 0.77657 × C(70,2)*24^68/25^70   /0.80326
= 0.77657 × 0.24070 / 0.80326
= 0.2327

第四种情况
P（指定某洞为3球|至少一洞为空）
=（至少一洞为空|指定某洞为3球）× P（指定某洞为3球）/ P（至少一洞为空）
= P(67球在24洞里不中jackpot) × P（先挑出3球在该洞，剩下67球随意在24洞）/ 0.80326
= 0.79217 × C(70,3)*24^67/25^70   /0.80326
= 0.79217 × 0.22733 / 0.80326
= 0.2242

第五种情况
P（指定某洞为4球|至少一洞为空）
=（至少一洞为空|指定某洞为4球）× P（指定某洞为4球）/ P（至少一洞为空）
= P(66球在24洞里不中jackpot) × P（先挑出4球在该洞，剩下66球随意在24洞）/ 0.80326
= 0.80742 × C(70,4)*24^66/25^70   /0.80326
= 0.80742 × 0.15866 / 0.80326
= 0.1595

最后一种情况
P（指定某洞为5+球|至少一洞为空）
因为刚才的研究没有破坏对称性
所以它可以用排除法
= 1 - （第一到第五种情况）
= 1- 0.07147 -  0.1586 - 0.2327 - 0.2242 -0.1595
= 0.1535

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作者: Howard    时间: 2016-1-29 03:05
按照权重，指定的这个洞的收益是

0.07147×0 + 0.1586*0 + 0.2327*40 + 0.2242*80 + 0.1595*140 + 0.1535*200
= 80.27元

因为我们是随便指定的一个洞，根据对称性，其他的洞EV也都是80.27元
所以在不中Jackpot的条件下的总EV就是 80.27*25 = 2007元

比我前面估计的要小一些

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作者: 昆仑苍狼    时间: 2016-1-29 08:10

Howard 发表于 2016-1-29 03:05
按照权重，指定的这个洞的收益是

0.07147×0 + 0.1586*0 + 0.2327*40 + 0.2242*80 + 0.1595*140 + 0.1535* ...

霍师傅不好意思 我没说明白

球进的一瞬间就给钱了   不是说最后红洞给200
金第二个马上给40 再进第三个再给80
200之后不变


0+40+80+140+200+200+200.......


最好的情况是75球全进一个洞

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作者: Howard    时间: 2016-1-29 11:18

昆仑苍狼 发表于 2016-1-28 18:10
霍师傅不好意思 我没说明白

球进的一瞬间就给钱了   不是说最后红洞给200

Can't type Chinese now.

P(exact 5 balls in specific pocket| at least one pocket is empty)
=P(at least one pocket is empty| exact 5 balls in specific pocket) * P(exact 5 balls in specific pocket) / P(at least one pocket is empty)
=P(No Jackpot 65 balls on 24 pocket) * P(70 choose 5 then 25^65) / 0.80326
= 0.82227* 70 choose 5 * 24^65/25^70 / 0.80326
= 0.08932


P(exact 6 balls in specific pocket| at least one pocket is empty)
=P(at least one pocket is empty| exact 6 balls in specific pocket) * P(exact 6 balls in specific pocket) / P(at least one pocket is empty)
=P(No Jackpot 64 balls on 24 pocket) * P(70 choose 6 then 25^64) / 0.80326
= 0.83668* 70 choose 6 * 24^64/25^70 / 0.80326
= 0.04103



P(exact 7 balls in specific pocket| at least one pocket is empty)
=P(at least one pocket is empty| exact 7 balls in specific pocket) * P(exact 7 balls in specific pocket) / P(at least one pocket is empty)
=P(No Jackpot 63 balls on 24 pocket) * P(70 choose 7 then 25^63) / 0.80326
= 0.85060* 70 choose 7 * 24^63/25^70 / 0.80326
= 0.01589



P(exact 8 balls in specific pocket| at least one pocket is empty)
=P(at least one pocket is empty| exact 8 balls in specific pocket) * P(exact 8 balls in specific pocket) / P(at least one pocket is empty)
=P(No Jackpot 62 balls on 24 pocket) * P(70 choose 8 then 25^62) / 0.80326
= 0.86399* 70 choose 8 * 24^62/25^70 / 0.80326
= 0.00530




P(exact 9 balls in specific pocket| at least one pocket is empty)
=P(at least one pocket is empty| exact 9 balls in specific pocket) * P(exact 9 balls in specific pocket) / P(at least one pocket is empty)
=P(No Jackpot 61 balls on 24 pocket) * P(70 choose 9 then 25^61) / 0.80326
= 0.87681* 70 choose 9 * 24^61/25^70 / 0.80326
= 0.00154



P(exact 10 balls in specific pocket| at least one pocket is empty)
=P(at least one pocket is empty| exact 10 balls in specific pocket) * P(exact 10 balls in specific pocket) / P(at least one pocket is empty)
=P(No Jackpot 60 balls on 24 pocket) * P(70 choose 10 then 25^60) / 0.80326
= 0.88904* 70 choose 10 * 24^60/25^70 / 0.80326
= 0.00040



11+ balls in one pockets. odds are too small to make any difference.


Now we have the payout table for this pocket:

Balls	Odds	Payout	EV
0	0.07147	0	0
1	0.1586	0	0
2	0.2327	40	9.308
3	0.2242	120	26.904
4	0.1595	260	41.47
5	0.0053	460	2.438
6	0.08932	660	58.9512
7	0.04103	860	35.2858
8	0.01589	1060	16.8434
9	0.00154	1260	1.9404
10	0.0004	1460	0.584
Total:	0.99995		193.7248

So, one pocket has a EV of $193.7248,
25 pockets will have a EV of 193.7248* 25 = $4843

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作者: 昆仑苍狼    时间: 2016-1-29 11:37

Howard 发表于 2016-1-29 11:18
Can't type Chinese now.

P(exact 5 balls in specific pocket| at least one pocket is empty)

牛逼牛逼你牛逼

最后一步还是没有明白
可以简单地乘以25么
洞和洞之间相互排斥的关系没有影响么

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作者: Howard    时间: 2016-1-29 22:24

昆仑苍狼 发表于 2016-1-28 21:37
牛逼牛逼你牛逼

最后一步还是没有明白

排斥关系没有影响，因为我们选择指定一个洞的时候，是随机指定，没有破坏对称性，选择其他洞也是一样的。

举个极端例子，两球两洞，显然A洞2球时，B洞只能0球。

但是我们计算A洞的平均球数时，却可以分成这三部分：
1） 25%的时间，它里面0球
2）50%的时间，它1球
3）25%的时间，它2球

所以他的平均球数为 25%×0+50%×1+25%×2 = 1球

这同样的计算也可以用于B洞，互相之间不矛盾。我们并没有说“A洞2球且B洞2球”之类的话。

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作者: 昆仑苍狼    时间: 2016-2-1 08:54

Howard 发表于 2016-1-29 22:24
排斥关系没有影响，因为我们选择指定一个洞的时候，是随机指定，没有破坏对称性，选择其他洞也是一样的。 ...

您真是有求必应啊
谢谢霍师傅赐教了
我在研究研究


亲亲

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作者: 老陈    时间: 2016-10-22 02:36


我用excel表计算了一下。结果差不多。
第一行，球洞编号。
第一列，球编号。
第1个球进洞，把这个洞编号为1
已经有n个洞有球，再投一个球，进入没有球的洞，这个洞编号n+1
投进m个球，第n个洞有球的概率：
P(m,n)=P(m-1,n)+(1-P(m-1,n))*P(m-1,n-1)*(25-n+1)/25
用公式在excel里表示。
P(1,1)=1，B2单元格输入1
结果P(70,25)在Z71单元格里显示。

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作者: 昆仑苍狼    时间: 2016-10-24 12:46

老陈 发表于 2016-10-22 02:36
我用excel表计算了一下。结果差不多。
第一行，球洞编号。
第一列，球编号。

牛逼 数学归纳法

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作者: 老陈    时间: 2016-10-24 13:15

昆仑苍狼 发表于 2016-10-23 22:46
牛逼 数学归纳法

递推，与数学归纳法有点区别。

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作者: 昆仑苍狼    时间: 2016-10-24 15:59

老陈 发表于 2016-10-24 13:15
递推，与数学归纳法有点区别。

数独 一共有多少pattern 您老是不是以前算过一次？
求指导

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作者: 傻傻的鱼    时间: 2016-10-24 23:46
absolutely completely stoned cold nuts地看不懂

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作者: 老陈    时间: 2016-10-25 07:20

昆仑苍狼 发表于 2016-10-24 01:59
数独 一共有多少pattern 您老是不是以前算过一次？
求指导

由于结果超出计算机的最大整数范围，我只能用浮点数字，我的计算结果是6.67*10^21。

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作者: 昆仑苍狼    时间: 2016-10-25 08:04

老陈 发表于 2016-10-25 07:20
由于结果超出计算机的最大整数范围，我只能用浮点数字，我的计算结果是6.67*10^21。 ...

大神阿！

我就想知道怎么算的
有解析法吗

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作者: 老陈    时间: 2016-10-28 02:09

昆仑苍狼 发表于 2016-10-24 18:04
大神阿！

我就想知道怎么算的

块编号：
123
456
789

块里的位置编号；
123
456
789

第1块:
其它都没填，没有约束，总共可能性：
9！=362880


第2块:
第1块第1行的3个数的位置可能性：
6*5*4

第1块第2行的3个数的位置可能性：

1、第1块3个数都放在第3行:
6种放法：
3*2*1

2、第1块3个数放在第2行1个、第3行2个：
3*3*6种放法：
4*3*2

3、第1块3个数放在第2行2个、第3行1个：
3*3*6种放法：
5*4*3

4、第1块3个数都放在第2行:
6种放法
6*5*4

合计：
6*6+54*24+54*60+6*120
=5292

第4块与第2块完全相同

其它的块的逻辑关系太复杂，我用了好多办法试着分析，但总觉得不放心，好在只剩下54个空没有填。

做这样一个Sudoku:
123456xxx
456789xxx
789123xxx
231xxxxxx
564xxxxxx
897xxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx

我就用计算机写了一段程序，把上图中的x用逐个实验的办法，计算出可能的组合是：
656437928

数独总数：
656437928*362880*5292*5292=6.67*10^21


说实在的，我对这个结果还是不太放心，帖在这里，请朋友们帮助验证。

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作者: Howard    时间: 2016-10-28 04:25
They discovered that the number of possible 9 by 9 Sudoku grids is N=6670903752021072936960 which is approximately 6.671×1021

Source: 康奈尔大学数学探索者俱乐部
http://www.math.cornell.edu/~mec/Summer2009/Mahmood/Count.html

验证通过。陈爷威武

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作者: 昆仑苍狼    时间: 2016-10-28 09:25

老陈 发表于 2016-10-28 02:09
块编号：
123
456

您真的很牛逼！

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作者: 老陈    时间: 2016-10-28 16:24
Sudoku的性质：
1、上3行可以互换。
2、中3行可以互换。
3、下3行可以互换。
4、左3列可以互换。
5、中3列可以互换。
6、右3列可以互换。
7、上中下3行可以整体互换。
8、左中右3列可以整体互换。
9、可以旋转。
10、可以翻转。
11、数字可以互换，就是把所有的1都换成2，把所有的2都换成1。

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