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标题: 概率 vs 常识和思维习惯带来的错误认识 [打印本页]

作者: maomaobiao 时间: 2010-7-19 09:09
标题: 概率 vs 常识和思维习惯带来的错误认识
本帖最后由 maomaobiao 于 2010-7-19 09:27 编辑

最近看书学到的一个有意思的问题，发现这样的思维在我们的习惯中，很常见。

------=== 问题 ===------

假设你是医生，你根据以往海量的数据知道以下情况并且用它们作为你判断的依据：

a. 来看病的人中，确诊得了肺炎的病人，有15%症状表现为剧烈咳嗽
b. 来看病的人中，确诊得了肺炎的病人，有50%症状表现为胸口局部剧烈刺痛

问题来了，一个人来看病，他症状表现为剧烈咳嗽 + 胸口局部剧烈刺痛，那他有多大的可能性得的是肺炎呢？

有点意思，我先不说答案。正在思考ing这对于打扑克能有什么帮助，哈哈。

作者: greatsunkai 时间: 2010-7-19 14:39
如果是有剧烈咳嗽的人，15%肺炎还有点价值。

作者: 78x 时间: 2011-5-27 13:35
俺把问题改得更直接一点，可不可以理解成这样？：
在一个小区里面，确认是中国人的，有15%是老人
在一个小区里面，确认是中国人的，有50%是男人
那么，这个小区里面出来一个老男人是中国人的最大可能性是多少？

俺的答案是最大可能性是100%
最小可能性是0%。

我有点怀疑是不是题目没有完全出清楚？因为不知道看病的总人数是多少。

如果可以把条件改成这样：
a. 来看病的人中，有15%症状表现为剧烈咳嗽的病人，最后被确诊得了肺炎
b. 来看病的人中，有50%症状表现为胸口局部剧烈刺痛的病人，最后被确诊得了肺炎
问题来了，一个人来看病，他症状表现为剧烈咳嗽 + 胸口局部剧烈刺痛，那他有多大的可能性得的是肺炎呢？

这样的话，这个15%和50%，才和最后得肺炎的的概率能关联

作者: maomaobiao 时间: 2011-5-28 07:13
本帖最后由 maomaobiao 于 2011-5-28 07:40 编辑

我有点怀疑是不是题目没有完全出清楚？因为不知道看病的总人数是多少。
78x 发表于 2011-5-27 13:35

这就是让大家思考的地方，可能类似墙说过的，中国的教育令学生们很会解决一些有确定条件的题目，但是这里的这个问题恰好是让大家思考，什么是概率，什么是统计，这两者其实不完全一样，统计是如何对应到概率的，又是如何对未知事件有了指导意义的。

即便如此，假如题目不是开放式的，告诉你一个确切的数字，可是新来了一个病人，这就还是一个未知的问题，需要用概率来预测，但是概率总是从统计中来的。

早上刚起来，不知道有没有回答你的疑惑。

另外来看看你改过的条件和原来的条件有什么不同吧：

原来的条件
a. 来看病的人中，确诊得了肺炎的病人，有15%症状表现为剧烈咳嗽
b. 来看病的人中，确诊得了肺炎的病人，有50%症状表现为胸口局部剧烈刺痛

这里，“确诊得了肺炎的病人”，是一个值

你给的条件
a. 来看病的人中，有15%症状表现为剧烈咳嗽的病人，最后被确诊得了肺炎
b. 来看病的人中，有50%症状表现为胸口局部剧烈刺痛的病人，最后被确诊得了肺炎

而这里，“症状表现为剧烈咳嗽的病人”和“症状表现为胸口局部剧烈刺痛的病人”，是两个值。问题变得更加复杂和不确定了。希望我没有理解错你的意思。原题其实也很简单，画个大饼图取交集就好了。

作者: xphxph 时间: 2011-5-28 17:10
这题目超级好解答

咳嗽不是肺炎 85%
胸痛不是肺炎 50%

现在咳嗽+胸痛不是肺炎，概率上交包容事件 85%X50%= 47.5%

那么咳嗽+胸痛是肺炎 1-47.5%= 52.5%

作者: xphxph 时间: 2011-5-28 17:15
实际情况是

如果医生称职大于10%的可能的传染病就要去查了。

所以这个倒霉蛋，肯定要被查出，要么是，要们不是。

作者: maomaobiao 时间: 2011-5-28 17:48

这题目超级好解答

咳嗽不是肺炎 85%
胸痛不是肺炎 50%

现在咳嗽+胸痛不是肺炎，概率上交包容事件 ...
xphxph 发表于 2011-5-28 17:10

你这个还真不对。仔细读条件吧

来看病的人中，确诊得了肺炎的病人，有15%症状表现为剧烈咳嗽

这个怎么得出咳嗽不是肺炎 85% ？？

作者: xphxph 时间: 2011-5-28 19:11
本帖最后由 xphxph 于 2011-5-28 19:16 编辑

OK 可能算得马虎了一点

那就做逻辑运算

A：咳嗽
B: 胸痛
C:肺炎

C-- > 15% A
C-- > 50% B

原命题成立，你否命题肯定成立

非15%A-- > 非C
非 50% B-- > 非C

现在要求

同时满足 [A+B]-- 〉?% C

那可以求求看非? %C-- > 非 [A+B]= 非A+非B- [非A+非B]

这边是集合运算。

下面把已知条件往里面代

我懒的算，哪个会数学变形的来解一下。

我估一下，这个数字不会大于65%,应该过 50%

作者: maomaobiao 时间: 2011-5-29 18:10
本帖最后由 maomaobiao 于 2011-5-29 19:11 编辑

fact is fact, fact is not logic.

But you can use logic to tell whether a fact is true or false (or you believe it is true or false).

事实就是事实，事实不是逻辑。

但是你可以应用逻辑来判断一个事实的对或错（或者你认为的对或错）

在这里，“来看病的人中，确诊得了肺炎的病人，有15%症状表现为剧烈咳嗽” 就是一个事实，你是不能对他进行逻辑运算的。恩？！

我再较个真，从这个事实，也就是统计数据，我们得到一个结论

“如果一个人被确诊得了肺炎，那么他是有15%可能性症状表现为剧烈咳嗽”

这个结论就是一个有逻辑的命题了，而且是含有概率的逻辑命题。

那么这个命题的逆否命题是什么呢？不是你说的那样，这个命题的逆否命题应该是

“如果一个人不是有15%可能性症状表现为剧烈咳嗽，那么他不能被确诊得了肺炎”

为什么这个逆否命题是废话？因为原命题是由一个事实推出的，是一个废话，所以他的逆否命题和他是等价的，也是一句废话。

"不是有15%可能性" 是不能等价于 "85%的可能性不是” 的。按说这是一个对概率误读的常见错误。"15%是" 的反面是 "不是15%是"，而不是 “85%不是”

如果用英文更方便了。

“There is NOT a 15% possibility that ...” >< "there is 85% possibility that ..."

如果我的逻辑有问题，欢迎指正。大饼图我改天画一个，很简单的，不明白你为什么不画。

作者: xphxph 时间: 2011-5-30 03:55
所以已经改正了

你看第二个回复的

逻辑运算

不喜欢画饼的原因是因为

2个你好画， 12个你好画吗？

还是直接逻辑运算来的快。

作者: liuhaiyang 时间: 2011-6-7 11:26
本帖最后由 liuhaiyang 于 2011-6-7 13:14 编辑

其实我想楼主想计算的是P(B1&B2|A)，语言表述是：得的是肺炎，那剧烈咳嗽 + 胸口局部剧烈刺痛的可能性。

而“剧烈咳嗽 + 胸口局部剧烈刺痛，得的是肺炎的可能性”表述就是P(A|B1&B2)。

P(A|B1&B2)和P(B1&B2|A)是不同的，用语言表述好绕啊，所以还是用数学表达简洁直观。

计算P(B1&B2|A)，要考虑B1和B2是独立、互斥还是关联事件，一般会有个相关系数R。这里就可以画饼图了，结果是小于0.15。

作者: 78x 时间: 2011-6-7 11:30
回复 11# liuhaiyang
我的想法和你是一致的。没有P（A），15%和50%是么有价值的。
不知道，俺们的思路哪儿出了问题。
还是恳请斑竹公布一哈答案。

作者: liuhaiyang 时间: 2011-6-7 11:32
回复 13# 78x

有条件的公式是绝对的，缺少条件即无结果。

作者: liuhaiyang 时间: 2011-6-7 11:49
不过结果也正如LZ所说的，普通的直觉和事实往往有差距。这个时候只能依靠数学工具。

作者: 78x 时间: 2011-6-7 11:50
回复 14# liuhaiyang
看来你和我一样也是中国教育的受害者：

这就是让大家思考的地方，可能类似墙说过的，中国的教育令学生们很会解决一些有确定条件的题目，但是这里 ...
maomaobiao 发表于 2011-5-28 07:13

作者: liuhaiyang 时间: 2011-6-7 12:31
本帖最后由 liuhaiyang 于 2011-6-7 12:57 编辑

回复 liuhaiyang
看来你和我一样也是中国教育的受害者：
78x 发表于 2011-6-7 11:50

呵呵，说不上受害者啥的吧，数学问题用语言描述，很容易就弄混了。到头来是一个问句前后调换的问题，结果大家说了半天，按照公式表述一下就一目了然。西方用一个清晰的符号系统来表述，利于数学归纳、解决和发展。

你也可能想说的是思维定式，这块我也有，所以要一直吸收大家的经验。比如我也很久没用过贝叶斯了，难得重温一下，手头的一些问题好像也多了点解法。

作者: maomaobiao 时间: 2011-6-7 16:25
本帖最后由 maomaobiao 于 2011-6-7 18:24 编辑

很久以前发的帖子，被翻出来了。很高兴有朋友愿意深入地讨论这个问题。看到"小屁孩xph"的回复时候，我就已经开始在努力回忆当时看书的思路了。这个问题原本出现在《The Drunkard's walk: how randomness rules our lives》这本书中（一下简称为“《醉汉》”），很不幸，我的那本丢在了公车上，可惜我还做了很多笔记。看来我有必要再买一本，也再次推荐给大家。至于这个帖子里提到的这个问题，我很高兴能有机会把我当时看书的思路整理出来，很多我想说的话，在大家的回复中都反映了出来，说明这个问题还是很有意思的。且听我慢慢道来:

1.《醉汉》中，这个例子出现地很早，所以它背后的科学道理相对并不复杂，原作者的目的只是要说明“即便是医生这样在西方被推崇的很有学问的职业，在对待概率问题时也会犯很简单的错误”。

2.首先，医生在日常诊断中通常会有一个“常识”性的逻辑
由：“来看病的人中，确诊得了肺炎的病人，有15%症状表现为剧烈咳嗽” 得出 “剧烈咳嗽的人，有15%的可能得了肺炎”。
这个逻辑肯定不严谨，本贴的回复中也提到了，但是原书的作者说，姑且认为医生这么判断有一定的经验依据，而这背后的逻辑（或者说经验总结）往往对于肺炎这种还算比较常见的疾病是行之有效的，作为判据的效率也是比较高的。话说到这里，其实还是怪我，当初发这个贴子故意留了一手，把这个条件省掉了。先请大家原谅我这么做，但这么做的用意在于下面的进一步讨论，事实证明我这么做是对的，否则大家也不会这么深入地讨论了，哈哈（自卖自夸了）。

3.姑且认为，医生们的第一个逻辑是成立的，那么这个题目的答案似乎就显而易见了，应该是 "一个人来看病，他症状表现为剧烈咳嗽 + 胸口局部剧烈刺痛，那他有小于15%的可能性得的是肺炎”，这是由“来看病的人中，确诊得了肺炎的病人，有小于15%症状表现为剧烈咳嗽 + 胸口局部剧烈刺痛”，这个计算我就不多说了。到这，好戏开始了。

4.《醉汉》原书的作者提到，医生们往往会犯第二个逻辑的错误，就是进一步用他们的“常识”（或者说经验），判断"一个人来看病，他症状表现为剧烈咳嗽 + 胸口局部剧烈刺痛，那他有大于65%（或者说较大的可能）得的是肺炎”。而这这个结论和实际情况又往往吻合，如果大家要反对这一点，那就算我的或者说原书作者，或者医生们的“常识”有问题吧。话说回来，不论医生的“常识”判断如何，也许第一个逻辑还值得商榷，但是这第二个逻辑错误却是显而易见的，也是无可回避的。是到此，原书作者的目的达到了——“即便是医生这样在西方被推崇的很有学问的职业，在对待概率问题时也会犯很简单的错误”。

5.那么，《醉汉》原书作者提到，这两个逻辑的错误的联合，是怎么得到一个常识性正确的结论的呢？他说，这就是人脑对概率的一种“思维习惯”，是一种直接的反射，而不是计算的结果。这种人脑对概率的认识，很可能在人脑的漫长的进化过程中就形成了，并不需要后天的学习和计算，就可以得到一个比较模糊的接近正确的结论。就像大家讨论的那样，如果要严格地得到一个答案，其实缺少一些条件。但是，我们在生活中作各种各样的决定和判断的时候，往往伴随大量的未知条件。而大脑实际上是综合了过去以往的“经验”，对这种包含未知条件的概率进行判断有其自己的一套方法，而这个判断的方法（类似潜意识的）目前还不为我们完全了解——但是却足够我们生存下来，规避风险。

6.所以，讨巧地说，这个题目并没有一个真正的答案。

7.我把这个例子提出来的初衷是因为，在牌桌上，很多东西的概率是一定的，比如说同花抽牌的概率，抽两头顺子的概率。但是，有很多东西又是未知的。我们很多时候都会有“直觉”，例如“我下一个大注能把他打跑”；“他的这个overbet是在诈唬”。直觉这东西，有时候并不完全离谱，特别是在建立在大量的经验的基础之上。虽然我是相信科学的，但是自读了这本书之后，我对直觉有了另外的一种解读和认识。

作者: xphxph 时间: 2011-6-7 21:30
我是来要求楼上 respect

XPHXPH, 这个英文名字，不是你理解的意思就不要乱按照你的意思乱改 OK?

BTW: 突然发现这个用户ID还可以这样理解

作者: liuhaiyang 时间: 2011-6-7 21:42
呵呵，直觉啊。我直觉觉得XPH这个名字和音乐有关。

作者: xphxph 时间: 2011-6-8 06:39
这个是俺名字的首字母的 min raise

作者: maomaobiao 时间: 2011-6-8 06:52

呵呵，直觉啊。我直觉觉得XPH这个名字和音乐有关。
liuhaiyang 发表于 2011-6-7 21:42

我直觉你的ID和黑熊有关，哈哈哈

作者: xphxph 时间: 2011-6-8 10:15
可以申请改ID吗
我决定把ID改称 X-PHX-PH

这样应该可以了

怎么也要是北极熊，熊掌肉多

黑熊体型小不够塞牙缝

作者: notch 时间: 2012-2-3 15:28

maomaobiao 发表于 2011-6-7 16:25
很久以前发的帖子，被翻出来了。很高兴有朋友愿意深入地讨论这个问题。看到"小屁孩xph"的回复时候，我就已 ...

最近无聊，又在挖坟

这里说的逻辑推导出咳嗽+胸痛变成<15%肺炎和直觉不符
应该是逻辑推导出问题了

按照之前的逻辑1，
满足胸痛这个条件，就有50%可能是肺炎
满足咳嗽这个条件，就有15%可能是肺炎
现在同时满足这两个条件，应该是超过50%可能是肺炎，这个就与直觉相符了

其实这里的矛盾正是假定正确的逻辑1带来的
由：“来看病的人中，确诊得了肺炎的病人，有15%症状表现为剧烈咳嗽” 得出 “剧烈咳嗽的人，有15%的可能得了肺炎”。
同“理”
由“按照概率，确诊得了肺炎的病人，有小于15%症状表现为咳嗽+胸痛”得出“症状表现为咳嗽+胸痛，有小于15%的可能得了肺炎”
逻辑1的错误在单一一个条件下还不明显，两个条件以上就很明显了

之前猫版提到上面的逆否命题应该是“如果一个人不是有15%可能性症状表现为剧烈咳嗽，那么他不能被确诊得了肺炎”
我有一个疑问：这里的前提是“一个人不是15%可能为咳嗽”，那么这一个人到底是在咳嗽还是不在咳嗽呢？
一个人是不可能“15%咳嗽，或者不是15%咳嗽”的，统计上的数字是无法具体到一个人在某一个时刻上的

来看病的人中，确诊得了肺炎的病人，有15%症状表现为剧烈咳嗽
这里已经把看病的人分成了得肺炎的和不得肺炎的，这个15%只是在得肺炎人群中的概率
要通过咳嗽来诊断肺炎，需要了解的是咳嗽在不得肺炎病人中的比例，还有得肺炎的人占总人数的比例（类似11楼的计算）
实际情况下，咳嗽在不得肺炎病人中的比例应该远远低于15%，而得肺炎的人占总人数的比例还不小
所以医生可以通过经验来判断“剧烈咳嗽的人，有15%的可能得了肺炎”。

作者: maomaobiao 时间: 2012-2-6 08:31

notch 发表于 2012-2-3 17:28
最近无聊，又在挖坟

这里说的逻辑推导出咳嗽+胸痛变成

欢迎继续挖坑。

你的回帖中说

按照之前的逻辑1，
满足胸痛这个条件，就有50%可能是肺炎
满足咳嗽这个条件，就有15%可能是肺炎
现在同时满足这两个条件，应该是超过50%可能是肺炎

上面你说的兰字的最后一句话，有逻辑错误。

从这里开始吧。如果，你明白你这里那里错了，就转到 #18 开始。

作者: notch 时间: 2012-2-6 10:49

maomaobiao 发表于 2012-2-6 08:31
欢迎继续挖坑。

你的回帖中说

嗯，没明白错在哪里。

我的前两句话是，满足a, 50%可能得出c，满足b，15%可能得出c
这ab两个条件互相独立的，同时满足，得出c的概率肯定要比双方都大，所以得出一个>50%得到c
我的理解是相当于开两枪，开两次枪的命中概率总要比开一次的大吧？
猫版的理解是要两枪同时中，所以概率要比单一一次小？

作者: maomaobiao 时间: 2012-2-6 11:36

notch 发表于 2012-2-6 12:49
嗯，没明白错在哪里。

我的前两句话是，满足a, 50%可能得出c，满足b，15%可能得出c

我的前两句话是，满足a, 50%可能得出c，满足b，15%可能得出c
这ab两个条件互相独立的

如果是独立的，那么同时满足a 和 b 的，则是 a和b的子集，于是要比 a和b中较小的那个还要小。

作者: notch 时间: 2012-2-6 13:59
本帖最后由 notch 于 2012-2-6 14:02 编辑

maomaobiao 发表于 2012-2-6 11:36
我的前两句话是，满足a, 50%可能得出c，满足b，15%可能得出c
这ab两个条件互相独立的

其实就是开两枪分开算，还是要一起中来算的问题了
不知道怎么表达

我对“独立”的两个条件的理解是，a发生与否并且a的结果如何和b发生与否及其结果无关

就看病这个事件来看，应该是分开算比较合理吧？

另一个问题就是咳嗽人群和胸痛人群并不是同一个人群
所以应该没有办法去简单的对他们进行概率计算吧？

作者: holdemfishIV 时间: 2012-2-16 09:50
这么多人搞错，
看来我该发财。

满足一个条件的就有50%，考虑有同时满足两个条件的，答案是大于50%，小于65%

作者: kerland 时间: 2012-3-26 17:47
这么多人搞错，
看来该我发财，
很多人把这个问题当成纯概率问题了，所以觉得条件不全。其实它是一道应用题，在这个特定环境下，有些条件是隐含的。那就是去医院查肺结核的人，要么咳嗽，要么胸痛，要么又咳嗽又胸痛，你要是说又不咳嗽又不胸痛的人，没症状你查什么肺结核！所以医生的经验在这里隐含着这样的条件。
那么我们来把题目和解答说的通俗易懂。100个人咳嗽，验痰，15个人确诊肺结核；100个人胸痛，去拍胸透，50个人确诊肺结核。那么有100个人又咳嗽又胸痛，医生先让他们去验痰，有15个人可以确诊肺结核；剩下的85个人医生又让他们去拍胸透，85X50%=42.5的人确诊肺结核。所以15+42.5=57.5人确诊肺结核。概率来说就是57.5,%。如果医生先让他们去拍胸透没确诊的人再验痰，答案一样100X50%+50X15%=57.5。
医院要赚钱或者说医生的经验要发挥作用，这里还可以引申出一个如何使医院达到最大ev，还是别那么黑暗了，从待查的患者的角度考虑他的ev吧。如果验痰要花10块，胸透要花50，那一个又咳嗽又胸痛的人要先查哪个才能最大化ev呢？答案是验痰。只要胸透的价格/验痰的价格>50/15，就先验痰，小于的话就先做胸透。
所以说病人如果懂概率，可以赚不少钱，oyeah。

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